Divulgación ¿El principio de mínima acción es una tautología?

[motion_ar]

En mecánica clásica, el principio de mínima acción aplicable en un campo uniforme puede obtenerse como sigue:

Partícula A

$\vec{a}_A = \vec{a}_A$

$\int \vec{a}_A \cdot d\vec{r}_A = \int \vec{a}_A \cdot d\vec{r}_A$

$\int \vec{a}_A \cdot d\vec{r}_A = \Delta \; {\textstyle \frac{1}{2}}\vec{v}_A^{\;2}$

$\int \vec{a}_A \cdot d\vec{r}_A = \Delta \; \; \vec{a}_A \cdot \vec{r}_A$

$\Delta \; {\textstyle \frac{1}{2}}\vec{v}_A^{\;2} = \Delta \; \; \vec{a}_A \cdot \vec{r}_A$

$\Delta \; {\textstyle \frac{1}{2}}\vec{v}_A^{\;2} - \Delta \; \; \vec{a}_A \cdot \vec{r}_A = 0$

$m_A \left( \Delta \; {\textstyle \frac{1}{2}}\vec{v}_A^{\;2} - \Delta \; \; \vec{a}_A \cdot \vec{r}_A \right) = 0$

$\rightarrow$

$\Delta \; T_A - \Delta \; V_A = 0$

$\left( T_{Af} - T_{Ai} \right) - \left( V_{Af} - V_{Ai} \right) = 0$

$\left( T_{Af} - V_{Af} \right) - \left( T_{Ai} - V_{Ai} \right) = 0$

$\left(\; L_{Af} \;\right) - \left(\; L_{Ai} \;\right) = 0$

$\Delta \; L_A = 0$

$\int L_A \; dt= 0$

Alex

[pod]

Re: ¿El principio de mínima acción es una tautología?

¿El principio de mínima acción es una tautología? Pues sí y no. Todas las formulaciones de la mecánica clásica son equivalentes entre si, un oscilador armónico va a hacer lo mismo si lo estudiamos mediante Newton, Hamilton, Hamilton-Jacobi o el principio de mínima acción.

La mecánica teórica no se introduce porque dé lugar a nueva física. Se introduce porque es una formulación matemáticamente mucho más potente, y da lugar a una comprensión heurística más robusta. Decir que la naturaleza siempre se comporta de forma que se minimice una cantidad llamada acción, que se puede entender en términos energéticos, es una descripción muy profunda de la naturaleza. Mucho más que tener que hablar de fuerzas que apuntan en una dirección en otra (que es lo que debemos hacer en Newton).

Pero el poder descriptivo es el mismo. Ganamos en comprensión, pero no en descripción.

[motion_ar]

Re: ¿El principio de mínima acción es una tautología?

Hola pod:

Yo no quise exponer que todas las formulaciones de la mecánica clásica son equivalentes entre sí. Cosa que comparto.
Lo que quise exponer es que partiendo de una tautología $(\vec{a}_A = \vec{a}_A)$ se puede obtener el principio de mínima acción (en este caso, aplicable en un campo uniforme, es decir, según mi interpretación con aceleración constante)
Por lo tanto, decir que el principio de mínima acción es válido en cualquier sistema de referencia, es como decir que la ecuación $\vec{a}_A = \vec{a}_A$ es válida en cualquier sistema de referencia.

Saludos,

Alex

[motion_ar]

Re: ¿El principio de mínima acción es una tautología?

-:- aat -:-

[motion_ar]

Re: ¿El principio de mínima acción es una tautología?

Reformulación:

En mecánica clásica, si consideramos un campo de fuerzas (uniforme o no uniforme) en el que la aceleración $\vec{a}_A$ de una partícula A es constante, entonces

$\vec{a}_A - \, \vec{a}_A = 0$

$\left( \vec{a}_A - \, \vec{a}_A \right) \cdot \delta \vec{r}_A = 0$

$\int_{t_{1}}^{t_{2}} \left( \vec{a}_A - \, \vec{a}_A \right) \cdot \delta \vec{r}_A \; \, dt = 0$

$\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left( {\textstyle \frac{1}{2}} \; \vec{v}_A^{\;2} \, + \, \vec{a}_A^{\vphantom{^{\;2}}} \cdot \vec{r}_A^{\vphantom{^{\;2}}} \right) \, dt = 0$

$m_A^{\vphantom{^{\;2}}} \; \delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left( {\textstyle \frac{1}{2}} \; \vec{v}_A^{\;2} \, + \, \vec{a}_A^{\vphantom{^{\;2}}} \cdot \vec{r}_A^{\vphantom{^{\;2}}} \right) \, dt = 0$

$\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left( T_A - \, V_A \right) \, dt = 0$

$\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} L_A \; \, dt = 0$

donde:

$T_A = {\textstyle \frac{1}{2}} \; m_A^{\vphantom{^{\;2}}}\vec{v}_A^{\;2}$

$V_A = - \; m_A^{\vphantom{^{\;2}}} \; \vec{a}_A^{\vphantom{^{\;2}}} \cdot \vec{r}_A^{\vphantom{^{\;2}}}$

Si $\vec{a}_A$ no es constante pero $\vec{a}_A$ es función de $\vec{r}_A$ entonces se obtiene el mismo resultado, aun si la segunda ley de Newton no fuese válida.

[carroza]

Re: ¿El principio de mínima acción es una tautología?

Hola.

Al definir $V_A = - m_A \vec a_A \vec r_A$, estás considerando implícitamente la segunda ley de newton:

$\vec F_A = m_A \vec a_A$.

Yo diría que el principio de mínima acción no es en absoluto una tautología. De hecho, es válido solamente para la mecánica clásica. En mecánica clásica, solamente una trayectoria es válida entre los estados inicial y final, que es la de mínima acción.

Sin embargo, en mecánica cuántica, expresada por las integrales de camino, todas las trayectorias son válidas, y cada trayectoria contribuye a la amplitud con una fase que es precisamente $\exp(-i S /\hbar)$, donde S es la acción a lo largo de la trayectoria.

[motion_ar]

Re: ¿El principio de mínima acción es una tautología?

Hola carroza:

Sí, $V_A = - \; m_A^{\vphantom{^{\;2}}} \; \vec{a}_A^{\vphantom{^{\;2}}} \cdot \vec{r}_A^{\vphantom{^{\;2}}}$ es una definición, pero $\vec{F}_A^{\vphantom{^{\;2}}} = m_A^{\vphantom{^{\;2}}} \; \vec{a}_A^{\vphantom{^{\;2}}}$ no es una definición, es una relación; salvo que para vos la segunda ley de Newton sea una definición.

Si $\vec{F}_A^{\vphantom{^{\;2}}} \ne m_A^{\vphantom{^{\;2}}} \; \vec{a}_A^{\vphantom{^{\;2}}}$ entonces la definición de $V_A$ seguiría siendo la misma: $V_A = - \; m_A^{\vphantom{^{\;2}}} \; \vec{a}_A^{\vphantom{^{\;2}}} \cdot \vec{r}_A^{\vphantom{^{\;2}}}$

Además, en este caso particular (aceleración constante) la definición de $V_A$ toma la forma $- \; m_A^{\vphantom{^{\;2}}} \; \vec{a}_A^{\vphantom{^{\;2}}} \cdot \vec{r}_A^{\vphantom{^{\;2}}}$, en otros casos la definición $V_A$ tomará otra forma; u otra y única definición generalizada.

Igual creo que lo más importante es la ecuación [4] más que $T_A$, $V_A$ o $L_A$

Saludos,

Alex

[carroza]

Re: ¿El principio de mínima acción es una tautología?

Hola.

Vamos a ver. El principio de mínima acción indica como se mueve cualquier partícula dado el Lagrangiano, que es una función, en general, de las coordenadas y de las velocidades de las partículas que se mueven.

L, y por tanto, V, no puede definirse como función de las aceleraciones.

En el caso que describes, para tener una aceleración constante, el potencial debe ser una función lineal de las coordenadas, que puedes escribir como
$V = \vec K \cdot \vec r_A + C$, donde $\vec K$ es un vector constante,

Si ahora aplicas el principio de mínima acción, encuentras que
$-\vec K = m_A \vec a_A$.

Como la fuerza, por definición, es el gradiente del potencial, cambiado de signo, $\vec F = -\vec \nabla V = - \vec K$.

Por tanto, el principio de mínima acción te lleva a $\vec F = m_A \vec a_A$.

O, si quieres hacer el camino inverso, para tener una aceleración constante, necesitas
un lagrangiano en el que el potencial sea una función lineal de las coordenadas.

El hecho de que el lagrangiano sea una función sólo de las coordenadas y de las velocidades es muy importante. Esto permite que, en mecánica clásica, conocidas
coordenadas y velocidades iniciales de cualquier sistema, podamos obtener las coordenadas y velocidades en cualquier instante posterior.

Como dijo Laplace, si conocieramos las posiciones y velocidades de todas las partículas del universo en un instante dado, y supiéramos la forma del lagrangiano, podríamos predecir exactamente el futuro y conocer perfectamente el pasado.

[motion_ar]

Re: ¿El principio de mínima acción es una tautología?

Partimos del caso particular de una partícula A con aceleración constante.
Para usted con su definición $V_A = - \; m_A^{\vphantom{^{\;2}}} \; \vec{a}_A^{\vphantom{^{\;2}}} \cdot \vec{r}_A$ en cambio para mí siempre $V_A = - \; m_A^{\vphantom{^{\;2}}} \; \vec{a}_A^{\vphantom{^{\;2}}} \cdot \vec{r}_A$ sin necesidad que haya una relación con las fuerzas actuantes. En este punto no nos vamos a poner de acuerdo, pero tampoco es fundamental.
El punto anterior creo puede ser evitado de la siguiente manera: ambos coincidimos que $V_A = - \; m_A^{\vphantom{^{\;2}}} \; \vec{a}_A^{\vphantom{^{\;2}}} \cdot \vec{r}_A$ y reemplazamos $T_A$ y $V_A$ por sus expresiones, entonces ambos llegamos a la misma ecuación [5]:
$\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left( {\textstyle \frac{1}{2}} \; m_A^{\vphantom{^{\;2}}} \vec{v}_A^{\;2} \, + \, m_A^{\vphantom{^{\;2}}} \; \vec{a}_A^{\vphantom{^{\;2}}} \cdot \vec{r}_A^{\vphantom{^{\;2}}} \right) \, dt = 0$
Aquí $\vec{a}_A^{\vphantom{^{\;2}}}$ es una constante, y la ecuación relaciona posiciones y velocidades de la partícula A.
Para usted esta ecuación es empírica, para mí no es empírica, es una tautología, porque llego a ella solamente partiendo de la ecuación [1]: $\vec{a}_A^{\vphantom{^{\;2}}} - \vec{a}_A^{\vphantom{^{\;2}}} = 0$

Un ejemplo:
Supongamos una partícula A libre y en reposo con respecto a un sistema de referencia inercial S, entonces para S:
$\vec F_A = m_A \vec a_A$ y
$\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left( {\textstyle \frac{1}{2}} \; m_A^{\vphantom{^{\;2}}} \vec{v}_A^{\;2} \, + \, m_A^{\vphantom{^{\;2}}} \; \vec{a}_A^{\vphantom{^{\;2}}} \cdot \vec{r}_A^{\vphantom{^{\;2}}} \right) \, dt = 0$
Supongamos ahora otro sistema de referencia no inercial S´con aceleración constante con respecto al sistema de referencia inercial S, entonces para S´:
$\vec F_A \ne m_A \vec a_A$ y
$\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left( {\textstyle \frac{1}{2}} \; m_A^{\vphantom{^{\;2}}} \vec{v}_A^{\;2} \, + \, m_A^{\vphantom{^{\;2}}} \; \vec{a}_A^{\vphantom{^{\;2}}} \cdot \vec{r}_A^{\vphantom{^{\;2}}} \right) \, dt = 0$
Sobre la partícula A no actúa ninguna fuerza real (de interacción). Para S la segunda ley de Newton es válida, pero para S´la segunda ley de Newton no es válida. Sin embargo, ambos sistemas S y S´coinciden en que la ecuación [5] es válida. Para mí ésto último se da porque la ecuación [5] es una tautología.
Aquí según su definición no hay ninguna energía potencial, no hay ninguna fuerza real (de interacción) actuando. Okey, agreguen las fuerzas ficticias ... pero éso ya es otra historia.
Es sólo un ejemplo, lo que importa es lo anterior a este ejemplo.
Saludos