2o ciclo Hamilton-Jacobi

[Becquerel]

Hola a todos, tengo una duda a la hora de resolver este problema mediante la teoría de Hamilton-Jacobi. Creo que me lío con la separación de variables.

El problema es el siguiente:

Un sistema tridimensional completamente separable tiene por hamiltoniana:

$H = T+V = \frac{1}{2m} ((p_x)^2 + (p_y)^2 + (p_z)^2) + mgz + \frac{1}{2} ky^2$

Aplicar la teoría de Hamilton-Jacobi para encontrar $x(t), y(t), z(t)$

Mi duda es que no sé cómo realizar la separación de variables. ¿Alguna ayuda?

Muchas gracias por adelantado

[pod]

Re: Hamilton-Jacobi

Puedes mirar la página sobre la ecuación de Hamilton-Jacobi aquí en la web.

En resumidas cuentas, al ser un sistema conservativo y con la coordenada x cíclica (no aparece en el hamiltoniano), podemos escribir la acción $S(q, \alpha, t) = - E t + \alpha_1 x + W(q, \alpha)$. Con todo esto, nos queda

$$\frac1{2m} \left[ \alpha_1^2 + \left( \frac{\dd W}{\dd y} \right)^{\!\!2} + \left( \frac{\dd W}{\dd z} \right)^{\!\!2} \right] + m g z + \frac12 k y^2 = E .$$

Reagrupando términos

$$\left[ \left( \frac{\dd W}{\dd y} \right)^{\!\!2} + m k y^2\right] <br /> + \left[ \left( \frac{\dd W}{\dd z} \right)^{\!\!2} + 2m^2 g z \right]<br /> = ( 2m E - \alpha_1^2 ) .$$

Podemos probar con una separación aditiva, del estilo $W = Y(y) + Z(z)$, con lo cual

$$\left[ \left( \frac{\dd Y}{\dd y} \right)^{\!\!2} + m k y^2\right] <br /> + \left[ \left( \frac{\dd Z}{\dd z} \right)^{\!\!2} + 2m^2 g z \right]<br /> = ( 2m E - \alpha_1^2 ) .$$

Vemos que tenemos la suma de dos funciones de variables diferentes (y e z respectivamente), y que el resultado no depende de ninguna de estas dos variables (es una constante). Por lo tanto, la única solución posible es que las dos funciones sean constantes en si. Eso nos da dos ecuaciones,

$$\begin{aligned}<br /> (Y')^2 + m k y^2 & = \alpha_2 , \\<br /> (Z')^2 + 2 m^2 g z & = \alpha _3 .<br /> \end{aligned}$$

Estas son EDOs ordinarias de primer order que deberías saber resolver sin problemas. Después, sólo te queda juntar todas las piezas, $S = - E t + \alpha_1 x + Y(y) + Z(z)$. Intenta terminar tú