1r ciclo Lagrangiano del sistema

[Elzurdo]

Hola tengo el siguiente problema:
Un aro de radio R esta situado en un plano horizontal,gira en este plano,con velocidad angular constante w, alrededor de un eje perpendicular al plano que pasa por un punto del aro, Una perla de masa m esta insertada en el aro en el extremo opuesto al punto mencionado.Encuentre el lagrangiano de la perla.

Mi planteamineto:

Teniendo en cuenta que respecto el eje de giro el centro de aro describe un movimiento circular uniforme, descompongo el movimiento en dos , uno respecto el eje de giro y el de la perla respecto el centro del aro.Tomo como sistema de referencia el eje de giro.

$x=Rcos(\alpha)+Rcos(\beta)$
$y=Rsin(\alpha)+Rsin(\beta)$ donde $\alpha =wt$

Bueno la lagrangiana sera : [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


Tengo serias dudas de si mi resolución es correcta ja que este problema se resolvió en la clase de mecánica con un planteamiento distinto al mio y mas elaborado, y aún teniendo las mismas cordenadas generalizadas el lagrangiano me da diferente.Independiente de si me he equivocado en los cálculos o no, que es posible, el planteamiento es correcto?.

[arivasm]

Re: Lagrangiano del sistema

Yo encuentro la misma lagrangiana que tú, eso sí, corrigiendo el LaTeX: $L(\beta,t)=\frac{R^2m}{2}[w^2+\beta'^2+2\beta' w \cos(wt+\beta)]$. ¿Cuál es la que se supone que es la correcta?

[Elzurdo]

Re: Lagrangiano del sistema

L=$2mR^2[\beta '^2+wcos^2(\beta)(2\beta'+w)]$, esta se supone que es la correcta, quizas haciendo utilizando alguna entidad trigonométrica se llegue ahí, pero al no aparecer la dependencia con el tiempo me hace dudar.

[arivasm]

Re: Lagrangiano del sistema

Caramba! ¿Y cómo se supone que está enfocado el cálculo hacia ese resultado? Coincido contigo en que no hay manera de llegar desde la nuestra hasta ésta, como evidencia la desaparición del tiempo.

[arivasm]

Re: Lagrangiano del sistema

Acabo de editar la lagrangiana que escribí antes, pues había algún detalle más, concretamente en el último sumando: sobraba un $R^2$ y era un $\beta'$ en vez de $\beta$

[Elzurdo]

Re: Lagrangiano del sistema

Al parecer plantea la resolución desde la perspectiva de una rotación pura respecto del eje de rotación, pero tengo los apuntes de un amigo y no se entiende ni papa solo la parte en la cual queda expresada la lagrangiana.

[Lev]

Re: Lagrangiano del sistema

A mí me sale una lagrangiana parecida -aunque algo más complicada- que la de arivasm:

$L(\beta,t)=\frac{m}{2} R^2 [(1+cos(\omega t+\beta)) (\omega +\beta')]^2$

Y no consigo ver de ninguna manera la que tú das como supuestamente correcta, sin dependencia explícita de t.

Como sea, la perla describe una espiral cerrándose hacia el punto de rotación del aro, pasando por él, y abriéndose de nuevo hasta hacerse tangente con el círculo que describe el extremo diametralmente opuesto a este punto de rotación (este círculo es un ciclo límite; así que la trayectoria se vuelve a cerrar hacia el foco en el orígen).
De hecho, si resuelvo las ecuaciones de Euler-Lagrange que salen de mi lagrangiana, aparecen ecuaciones de movimiento no lineales y harto complicadas, que aún no sé si coinciden con esas espirales, pese a que he pasado un largo rato peleándome con ellas.

[pod]

Re: Lagrangiano del sistema

No sé si es el caso, pero recordad que dos (o más) lagrangianas son equivalentes si difieren en una derivada total. ¿Habéis comprobado si el término con dependencia temporal se puede escribir como una derivada total?

[Elzurdo]

Re: Lagrangiano del sistema

No sé si es el caso, pero recordad que dos (o más) lagrangianas son equivalentes si difieren en una derivada total. ¿Habéis comprobado si el término con dependencia temporal se puede escribir como una derivada total?

He estado probando pero encontrar una función cuya derivada de el termino dependiente del tiempo, no parece una integral factible.