1r ciclo Lagrangiano plano inclinado+esfera

[Elzurdo]

Hola tengo el siguiente problema:
Una esfera de masa m y radio R cae rodando sin deslizar por un plano de masa M, inclinado un angulo $\alpha$ y que se puede mover sobre una superficie horizontal y lisa sin fricción. Si la esfera comienza a desplazarse desde la parte superior del plano inclinado y el sistema esta inicialmente en reposo(con el plano a el origen de coordenadas) determine el lagrangiano del sistema.

El lío que se monta aquí ja es grande lo que me hace suponer o que me he equivocado o que hay alguna ligadura importante que no he tenido en cuenta.

Mi resolución:
Intuitivamente supongo que el plano se desplaza hacia la izquierda mientras la bola se desplaza respecto al plano hacia la derecha(aquí creo que hay una ligadura que relaciona los dos desplazamientos pero no estoy seguro)

$x_0$= posición de la bola respecto al origen de coordenadas
$x_b$=posición de la bola respecto a la base del plano
$x_p$=posición del plano respecto al origen
$y$=altura de la bola respecto el lateral del plano, donde la altura de la bola respecto al origen queda , $y_0=H-y$, H es la longitud lateral del plano

$x_0=x_b-x_p, x_0'=x_b'-x_p'$ ,la lagrangiana me queda como sigue:

$L=\frac{1}{ 2} m((x_b'-x_p')^2+y'^2)+\frac{I(x_b'x_b+y'y)^2}{2R^2(x_b+y) }+\frac{1}{2 } Mx_p'^2-mg(H-y)$, en el termino de la energía cinética de rotación $\frac{1}{2 } I\theta'^2$ he usado que $r=\theta R, r^2=x_b^2+y^2$ al sacar las ecuaciones del movimiento me quedan demasiado acopladas,me podrían decir si es correcto el planteamiento o en caso contrario donde falla?, gracias de antemano.

[pod]

Re: Lagrangiano plano inclinado+esfera

Intuitivamente supongo que el plano se desplaza hacia la izquierda mientras la bola se desplaza respecto al plano hacia la derecha(aquí creo que hay una ligadura que relaciona los dos desplazamientos pero no estoy seguro)

En efecto, el hecho de que la bola se mantenga sobre la superficie del plano inclinado es una ligadura. Una forma de escribirla, si no me equivoco, es $y_e = \tan\alpha (x_p - x_e)$, donde el subíndice e se refiere a la esfera; mientras que $x_p$ es el valor de la coordenada x del punto en que el plano inclinado cruza la altura y = 0.

Otra ligadura es la condición de rodadura.

[jose1991]

Re: Lagrangiano plano inclinado+esfera

Las dos coordenadas generalizadas son: x, \theta. La coordenada x representa la distancia des de lo alto del plano inclinado hasta la posición Cm de la esfera.

Por tanto la ecuación de ligadura de la rodadura es: rd\theta=dx.

La energía cinética la podemos expresar como sigue: T=1/2Mv^2 +1/2I(alpha)^2, siendo I el momento de inercia de la esfera.

Luego la energia potencial viene dada por: V=Mg(l-x)\sin\alpha, siendo l, la longitud del plano inclinado, y alpha el ángulo que forma.

Con esto ya puedes formar el lagrangiano de forma fácil.

Espero haberte servido de ayuda, y perdón por la notación, que aún no me aclaro a escribir aquí bien.