1r ciclo ¡Ayuda para aprender BIEN qué es un Lagrangiano!

[Arri]

Hola, amigos:

Este post es un pequeño grito de socorro: este curso he dado dos (que antes era una anual) asignaturas de Mecánica Clásica. En ellas hemos "estudiado" el concepto de Lagrangiano y Hamiltoniano, y digo "estudiado" porque nos hemos dado con un canto en los dientes.

Unos compañeros de clase han ido a preguntar dudas respecto a un asunto de coordenadas generalizadas en osciladores acoplados, pero en vez de ir a la profesora de la asignatura han ido a preguntar a un profesor de Física Teórica porque sospechaban que el asunto tenía que ver con autovectores (ese profesor nos enseñó Álgebra).

Tras una charla con él, se dieron cuenta de que no hemos aprendido NADA sobre Lagrangianos, que todo lo que sabemos es muy poco, muy superficial y concreto. Yo creo (no lo sé) que la formulación lagrangiana y Hamiltoniana se usa muchísimo en toda la Física, pero si no me la enseñan de forma general donde han de enseñármela ¿dónde la voy a aprender?

Lo que os pido es información sobre dónde estudiar de forma formal la formulación lagrangiana y Hamiltoninana: libros, webs... Lo que sea: no me quiero quedar con las ganas de saber cómo funciona

¡Gracias de antemano!

[Elzurdo]

Re: ¡Ayuda para aprender BIEN qué es un Lagrangiano!

Yo estudie del goldstein los temas de mecànica lagrangiana y hamiltoniana, lo explica de forma rigurosa y con demostraciones.

[Arri]

Re: ¡Ayuda para aprender BIEN qué es un Lagrangiano!

Conozco ese libro, y alguna vez he recurrido a él. Lo tengo en mi lista de pendientes .

Pero lo que quiero saber es si existe algo más general: algo que explique qué es un lagrangiano y/o un hamiltoniano desde un aspecto más "matemático". Porque, según tengo entendido, es un concepto que se usa en toda la física, no sólo en la mecánica...

¡Gracias por la ayuda!

[xXminombreXx]

Re: ¡Ayuda para aprender BIEN qué es un Lagrangiano!

¿No tienes una asignatura en cursos más adelante de mecánica teórica? Creo que es ahí donde lo ves. Mira el plan de estudios del grado en tu universidad, a ver qué hay.

[Arri]

Re: ¡Ayuda para aprender BIEN qué es un Lagrangiano!

Ya lo he mirado y, lamentablemente, esa asignatura ya no existe. En el antiguo plan (licenciatura), sí que estaba (de hecho he pedido los apuntes, para enterarme de algo). Ahora... No hay nada parecido, por lo que he podido ver en la lista de optativas >_<

[Elzurdo]

Re: ¡Ayuda para aprender BIEN qué es un Lagrangiano!

No recuerdo muy bien pero en el goldstein se hace una introducción puramente matemàtica de como minimizar unos tipos de integrales, para calcular por ejemplo cual es el camino mas corto que une dos puntos en un espacio, pues bien a partir de ahí se llegaba a la conclusión que la función a integrar debia cumplir la forma de la ecuación de lagrange, y como minimizar ese tipo de integrales es en lo que se basa el principio variacional de hamilton pues se relaciona de forma matematica hamilton-lagrange, se explica esto de forma puramente matemàtica sin hacer alusiones físicas, no si es esto a lo que te refieres con el significado matemàtico de la formulación de lagrange/hamilton.

[Arri]

Re: ¡Ayuda para aprender BIEN qué es un Lagrangiano!

(...)
no si es esto a lo que te refieres con el significado matemàtico de la formulación de lagrange/hamilton.

No me refiero a eso XP.

Lo que quiero decir es que (creo) el Lagrangiano y el Hamiltoniano no se definen expresamente para la mecánica, sino que abarcan un abanico mucho más amplio. Lo que quiero saber es dónde encontrar información más general sobre estos recursos: un libro, artículo o lo que sea que trate sólo de eso, no de cómo se aplica a la mecánica ni cómo se deriva de ello las ecuaciones de Euler-Lagrange...

¡Gracias por las respuestas!

[Elzurdo]

Re: ¡Ayuda para aprender BIEN qué es un Lagrangiano!

Pues entonces no se, solo estoy en 2 curso de física no soy un entendido XP, pero las ecuaciones de lagrange y hamilton también se aplican al electromagnetismo y a otras disiciplinas y todo deriva del principio de mínima acción del cual se deducen las ecuaciones de euler-lagrange y esto a su vez proviene de conceptos matemáticos que se aplican a la física, como saber por que camino debe evaluarse una función para que su integral por ese camino sea mínima, de donde proviene el principio de mínima acción, luego lo mas general de todo es la concepción matemática, no obstante puedo estar equivocado también xD.

[pod]

Re: ¡Ayuda para aprender BIEN qué es un Lagrangiano!

Yo, el libro más matemático que conozco sobre el tema es el Arnold. Pero desde luego el Goldstein debería ser más que suficiente para las necesidades generales de cualquier físico.

[carroza]

Re: ¡Ayuda para aprender BIEN qué es un Lagrangiano!

Hola.

Quizás, antes de hartarte de formalismo, te ayude plantearte el problema de la forma siguiente:

1) Cualquier cosa viene descrita por unos números, que se llaman coordenadas (generalizadas o no).

2) Esas coordenadas cambian con el tiempo.

3) El problema de la física es conocer cómo es esta variación.

4) Para cualquier cosa, existe una función, que se llama lagrangiano, que depende de las coordenadas, las velocidades y el tiempo, que determina cómo es la variación de estas coordenadas.

5) Esta variación de las coordenadas con el tiempo es tal que la acción (integral del lagrangiano con el tiempo) se hace mínima.

6) A partir de aqui se deducen las ecuaciones de Euler Lagrange, que gobiernan la forma en la que cambian con el tiempo las coordenadas.

[natanael]

Re: ¡Ayuda para aprender BIEN qué es un Lagrangiano!

Puede que sean imaginaciones mías, pero recuerdo haber leído que hay casos donde no se busca minimizar la integral, puede hallarse tambien un máximo (dentro del espacio de configuración), entonces, hasta la numeración 4) que mensionó carroza, el termino cosa (el cual me gusta mucho ) de:

Cualquier cosa viene descrita por unos números

puede ser literalmente cualquier cosa, ¿hasta el punto donde se defina si se vá a maximizar ó minimizar la integral?

[carroza]

Re: ¡Ayuda para aprender BIEN qué es un Lagrangiano!

Hola.

Ejemplos de "cosas", para las cuales pueden definirse lagrangianos:

Una partícula.
Un sólido rígido.
Un sistema de partículas.
Un sistema de sólidos, con las correspondientes ligaduras (engranajes, etc, de las que les gustan a los ingenieros).
Un sistema cuántico (p. ej. un átomo de hidrógeno).
Un campo clásico (por ejemplo, el campo electromagnético).
Un campo cuántico (por ejemplo, los campos asociados a electrones, fotones, quarks, Higgs, bosones gauge ...).

Hasta donde yo se, las trayectorias en mecánica clásica (es decir, las variaciones de las coordenadas con el tiempo) corresponden a la mínima acción. Las ecuaciones de Euler-Lagrange nos dicen que la acción es un extremo, pero no si es máxima o mínima.

En mecánica cuántica, la evolución de un sistema viene dado por una cosa llamada propagador. El propagador depende no sólo de la trayectoria de mínima acción, sino que todas las trayectorias son posibles, y cada una de ellas viene afectada por una fase que es $\exp(i S / \hbar)$, donde S es la acción correspondiente a una trayectoria dada. Es lo que se llama el método de integrales de Camino de Feynmann.
Las trayectorias que más contribuyen al propagador son aquellas en las que las fases $\exp(i S / \hbar)$
varian poco, y eso ocurre cuando la acción es prácticamente constante, que es lo que determina la trayectoria clásica.

En resumen, para determinar la evolución de un sistema entre un estado inicial A y un estado final B:

Mecánica cuántica: Todas las trayectorias son posibles. Cada una de ellas contribuye con $\exp(i S / \hbar)$.

Mecánica clásica: Sólo es posible la trayectoria que hace la acción mínima.

La Mecánica clásica es una aproximación a la mecánica cuántica válida cuando la acción S es grande frente a $\hbar$, de forma que sólo contribuyen las trayectorias muy cercanas a la clásica.