ayuda en lagrangiano

[dual]

Hola amigos, este es mi primer mensaje en este foro el cual aprobecharé para preguntar acerca de un problema que dice:

"Dos masas puntuales m1 y m2 están conectadas por un cordón de longitud l que pasa através de un hoyo en una mesa horizontal, como se muestra en la figura





a) Encuentre el lagrangiano del sistema
b) Si las masas m1 y m2 simplemente se mueven en líneas horizontales y verticales en el campo gravitacional uniforme, encuentre y resuelva las ecuaciones de Lagrange".

y lo que he hecho para el inciso a) es:

obtener el lagrangiano de cada masa:

$s = r \theta \to \dot s = v = r \dot{\theta} \to K = \frac{1}{2}m_1 r^2 \dot{\theta}^2$

$U = U_0$, así

$L = \frac{1}{2}m_1 r^2 \dot{\theta}^2 - U_0 = 0$

y para m2:

$L= \ddot{\phi} - \frac{g}{R} \sin \phi + R \cos \phi = 0$

con el sistema cordenado colocado en el agujero de la mesa y R la longitud del péndulo y r el radio del círculo que hace m1.

Ahora, lo importante es que tanto R y r sean valores fijos, es decir, no se deslicen las masas, por eso, propongo que

$\frac{d}{dt}(R + r) = 0$, se me ha ocurrido despejar de cada lagrangiano a R y r y sustituir en la anterior ecuación pero queda algo muy feo, que carece de sentido físico.

Alguien podría darme una pista de cómo resolver los incisos? Saludos y mil gracias

[pod]

Re: ayuda en lagrangiano

Un sistema sólo tiene un lagrangiano, independientemente de cuantas masas haya.

Tienes tres grados de libertad, que puedes elegir así: $\theta$, $\phi$ y $r$. Esa $r$ será el radio de giro de la masa que va sobre la mesa. La ligadura que hay es que el radio de giro del péndulo esférico (la otra masa) es $\ell-r$; esto es lo que acopla los dos movimientos.

[Rolo]

Re: ayuda en lagrangiano

a) Encuentre el lagrangiano del sistema

Como dijo pod, lagrangeano hay uno sólo. L = T - U incluyendo todo lo que ande en la vuelta, por hablar pronto y claro.

b) Si las masas m1 y m2 simplemente se mueven en líneas horizontales y verticales en el campo gravitacional uniforme, encuentre y resuelva las ecuaciones de Lagrange".

Acá estás introduciendo vínculos al sistema, es decir, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , o sea, hay que imponer en el lagrangeano anterior que:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ; [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ; [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Con el lagrangeano resultante (de una variable, r o R grande segun te guste más, pues tenés el vínculo r + R = cte = l, largo total del hilo), resolves con las ecuaciones de lagrange.

Saludos,
Rolo