1r ciclo Sobre el momento angular (duda conceptual)

[Elkin]

Hola,

Yo tengo claro como se halla el momento angular para una partícula dada respecto de un marco de referencia, etc. Pero mi duda es porque muchas veces he leído en alguno que otro lado, que no hablan de momento angular, sino de "la acción", como por ejemplo en Mecánica Analítica, se mencionan las variables de acción-ángulo.

También he escuchado, por ejemplo, en cuántica, que si el valor de la acción es "muy grande" en comparación con el orden de la constante de Planck entonces se puede aplicar la mecánica clásica sin mayor problema.

Me pregunto por qué se dice así, quizás también se puede decir momento angular. O es que en realidad el momento angular y la acción son dos cosas diferentes.


Saludos

[pod]

Re: Sobre el momento angular (duda conceptual)

Hola,

Yo tengo claro como se halla el momento angular para una partícula dada respecto de un marco de referencia, etc. Pero mi duda es porque muchas veces he leído en alguno que otro lado, que no hablan de momento angular, sino de "la acción", como por ejemplo en Mecánica Analítica, se mencionan las variables de acción-ángulo.

También he escuchado, por ejemplo, en cuántica, que si el valor de la acción es "muy grande" en comparación con el orden de la constante de Planck entonces se puede aplicar la mecánica clásica sin mayor problema.

Me pregunto por qué se dice así, quizás también se puede decir momento angular. O es que en realidad el momento angular y la acción son dos cosas diferentes.


Saludos

Son cosas completamente diferentes, con la casualidad de que ambas se miden en las mismas unidades.

La acción es el objeto más importante de la mecánica, ya que permite expresar todas las leyes de la física como un objetivo de optimización funcional. Es el principio de mínima acción, es decir, lo que ocurra en la naturaleza es aquello que minimiza el valor de la acción. Se define como la integral respecto del tiempo del lagrangiano (que, a su vez, es la resta de la energía cinética y la energía potencial, y por lo tanto tiene unidades de energía):

$$S = \int \!\!\dd t\ L = \int \!\!\dd t\ \Big( T - U \Big) .$$

En mecánica, cualquier coordenada que uno utilice para medir la posición del sistema tiene asociado un "momento". Si la coordenada tiene un significado físico de "distancia" (como las coordenadas cartesianas x, y, z; o la coordenada radial r) ese momento asociado es un momento lineal (o cantidad de movimiento). Si la coordenada tiene significado de ángulo, ese momento asociado es un momento angular.

[arivasm]

Re: Sobre el momento angular (duda conceptual)

Quizá convenga añadir la razón por la que ambas magnitudes tienen las mismas unidades: Dada una coordenada generalizada $q$ el momento asociado a ella (momento conjugado) y que cita pod al final de su mensaje, es $\dst p=\frac{\partial L}{\partial \dot q}$. Si $q$ es una coordenada adimensional, como sucede con los ángulos, $\dot q$ tendrá unidades de inverso de tiempo, de manera que $p$ (que será un momento angular) tendrá unidades de energía (que son las de $L$) multiplicadas por tiempo, exactamente igual que $S$.

En cualquier caso, está muy claro que $S=\int L\dd t$ es un concepto totalmente diferente de $p_{\theta}=\dst \frac{\partial L}{\partial \dot \theta}$

[Elkin]

Re: Sobre el momento angular (duda conceptual)

Son cosas completamente diferentes, con la casualidad de que ambas se miden en las mismas unidades.

En mecánica, cualquier coordenada que uno utilice para medir la posición del sistema tiene asociado un "momento". Si la coordenada tiene un significado físico de "distancia" (como las coordenadas cartesianas x, y, z; o la coordenada radial r) ese momento asociado es un momento lineal (o cantidad de movimiento). Si la coordenada tiene significado de ángulo, ese momento asociado es un momento angular.

Dada una coordenada generalizada $q$ el momento asociado a ella (momento conjugado) y que cita pod al final de su mensaje, es $\dst p=\frac{\partial L}{\partial \dot q}$. Si $q$ es una coordenada adimensional, como sucede con los ángulos, $\dot q$ tendrá unidades de inverso de tiempo, de manera que $p$ (que será un momento angular) tendrá unidades de energía (que son las de $L$) multiplicadas por tiempo, exactamente igual que $S$.

En cualquier caso, está muy claro que $S=\int L\dd t$ es un concepto totalmente diferente de $p_{\theta}=\dst \frac{\partial L}{\partial \dot \theta}$

Gracias por las respuestas pod y arivasm.

No había caído en cuenta en que la palabra acción se refería a esta acción. De la cual se pueden deducir las ecuaciones de Euler-Lagrange si uno utiliza el principio de Hamilton.

Pero entonces cuando se dice que la acción es "muy grande" comparada con $h$ la constante de Planck, ¿También se refiere a esta acción? Es decir, habría que calcular el lagrangiano, y luego hacer la integral con respecto al tiempo, para ver cuál es el valor de la acción. La duda que me surge es que, por ejemplo, uno puede tener un sistema, y encontrarle el lagrangiano; pero ¿cuál sería el intervalo de integración? supongo que dependiendo de eso, esa integral daría un valor del orden de la constante de Planck.

saludos

[pod]

Re: Sobre el momento angular (duda conceptual)

Gracias por las respuestas pod y arivasm.

No había caído en cuenta en que la palabra acción se refería a esta acción. De la cual se pueden deducir las ecuaciones de Euler-Lagrange si uno utiliza el principio de Hamilton.

Que yo sepa, el término acción sólo se usa para refierese a esa integral, así que no hay ambigüedad posible.

Pero entonces cuando se dice que la acción es "muy grande" comparada con $h$ la constante de Planck, ¿También se refiere a esta acción? Es decir, habría que calcular el lagrangiano, y luego hacer la integral con respecto al tiempo, para ver cuál es el valor de la acción. La duda que me surge es que, por ejemplo, uno puede tener un sistema, y encontrarle el lagrangiano; pero ¿cuál sería el intervalo de integración? supongo que dependiendo de eso, esa integral daría un valor del orden de la constante de Planck.

saludos

Pues integras desde el "inicio" hasta el "final" del fenómeno que te interesa estudiar.

Todo esto de la "acción mucho más grande que la constante de Planck" viene de la formulación de la integral de caminos de Feynman. De forma muy resumida, Feynamn viene a decir que podemos calcular la (amplitud de) probabilidad de que ocurra "algo" haciendo una especie de suma ponderada de todas las formas en que ocurra dicho "algo", y el peso que hace esa ponderación no es más que una exponencial negativa de la acción, $\eee{-S/\hbar}$.

Quizá sea más fácil de entender con el ejemplo de la doble rendija, donde un rayo de luz puede llegar a una pantalla a través de una pared que contiene dos rendijas. Clásicamente, la luz podría pasar por una de las rendijas. No obstante, según la integral de caminos de Feynman, lo que tenemos que hacer es calcular la acción de cada uno de los dos caminos, sacar la exponencial y sumar. Esa suma de dos exponenciales es lo que acaba dando los fenómenos de interferencia que todos conocemos en el experimento de la doble rendija.

Pues bien, la contribución más grande a esta suma siempre vendrá del término que sea más grande. Y el término que sea más grande es el que tendrá la acción más pequeña. La aproximación más simple es quedarnos simplemente con la solución que dé la mínima acción. Y resulta que esa aproximación es, precisamente, la mecánica clásica. De aquí proviene el principio de mínima acción (o principio de Hamilton).

[Elkin]

Re: Sobre el momento angular (duda conceptual)

Que yo sepa, el término acción sólo se usa para refierese a esa integral, así que no hay ambigüedad posible.

Gracias, ahora sé que no debo pensar en otras cantidades, también se me hacía extraño que en física se designaran de forma parecida dos cosas distintas.

Pues integras desde el "inicio" hasta el "final" del fenómeno que te interesa estudiar.

Todo esto de la "acción mucho más grande que la constante de Planck" viene de la formulación de la integral de caminos de Feynman. De forma muy resumida, Feynamn viene a decir que podemos calcular la (amplitud de) probabilidad de que ocurra "algo" haciendo una especie de suma ponderada de todas las formas en que ocurra dicho "algo", y el peso que hace esa ponderación no es más que una exponencial negativa de la acción, $\eee{-S/\hbar}$.

Lo que no logro entender aun, es por qué le mencionan a uno ese tipo de cosas cuando aún no se ha visto nada de Feynman, es decir, tengo un libro de introducción a la cuántica que inicia hablando del rango de validez de la mecánica clásica; en dicho libro se menciona que la relatividad especial, se reduce a la mecánica clásica para el caso de velocidades menores a la de la luz; pero también se menciona que la mecánica cuántica se reduce a la mecánica clásica cuando el orden de la acción es "muy grande" comparada con la constante de Planck $h$.

Pues bien, la contribución más grande a esta suma siempre vendrá del término que sea más grande. Y el término que sea más grande es el que tendrá la acción más pequeña. La aproximación más simple es quedarnos simplemente con la solución que dé la mínima acción. Y resulta que esa aproximación es, precisamente, la mecánica clásica. De aquí proviene el principio de mínima acción (o principio de Hamilton).

Obviamente pod sabes mucho más de física que yo, pero es que esto lo escuché a un profesor:

La acción puede ser o bien mínima o bien máxima, es algo así como que uno lo que quiere es hacer $\delta A=0$, con $A$ la acción. Es decir no se restringe a que la acción se mínima. Y no sé si realmente esto contradice lo que dices.


Quisiera también preguntar si aquí sucede algo parecido a lo que sucede con otra cantidad: el torque (también denominado momento de una fuerza), en este caso las unidades son los joules, pero no por ello debe asociarse a una energía o a un trabajo.

Esto último lo digo con relación a esto:

* La mecánica clásica no es válida cuando la acción sea del orden de la constante de Planck.

* El electrón en el momento angular del átomo de hidrógeno fue descrito por Bohr, diciendo que estaba cuantizado y sus valores sólo podían ser múltiplos de la constante de Planck.

Es decir aquí claramente la constante de Planck se estaría utilizando para describir dos cantidades distintas. En mi analogía es como si se estuviera hablando del torque como torque y como energía.


saludos

- - - Actualizado - - -

Que yo sepa, el término acción sólo se usa para refierese a esa integral, así que no hay ambigüedad posible.

Bueno hay algo más, en un artículo de divulgación, encontré lo siguiente:


"...[FONT=Source Sans Pro]La acción es una magnitud física, al igual que lo son la longitud, el tiempo, la velocidad, la energía, la temperatura, la potencia, la corriente eléctrica, la fuerza, etc., aunque menos conocida. Y al igual que la temperatura indica la cualidad de frío o caliente del sistema, y la velocidad su cualidad de reposo o movimiento, la acción indica la cualidad de pequeño (cuántico) o grande (clásico) del sistema. Como la energía, o una longitud, todo sistema posee también una acción que lo caracteriza. [/FONT]

[FONT=Source Sans Pro]Esta acción característica, A, se obtiene de la siguiente multiplicación de magnitudes: A = P x L, donde P representa la [/FONT]cantidad de movimiento[FONT=Source Sans Pro] característica del sistema (el producto de su masa por su velocidad) y L su “longitud” característica. La unidad de esa “regla” que mencionábamos, con la que medimos la acción de los sistemas, es la constante de Planck, h. Si el valor de la acción característica del sistema es del orden de la constante de Planck deberemos utilizar necesariamente la Teoría Cuántica a la hora de estudiarlo. [/FONT]

[FONT=Source Sans Pro]Al contrario, si h es muy pequeña comparada con la acción típica del sistema podremos estudiarlo a través de los métodos de la teoría clásica. Es decir: Si A es del orden de h debemos estudiar el sistema según la Teoría Cuántica. Si A es mucho mayor que h, podemos estudiarlo por medio de la Física Clásica..." (artículo completo en tendencias21.net)

No sé si es porque se trata de algo divulgativo, pero me parece que esa cantidad a la que se refieren se parece más al momento angular que a la acción definida como la integral del lagrangiano en el tiempo.
[/FONT]

- - - Actualizado - - -

Quizá convenga añadir la razón por la que ambas magnitudes tienen las mismas unidades: Dada una coordenada generalizada $q$ el momento asociado a ella (momento conjugado) y que cita pod al final de su mensaje, es $\dst p=\frac{\partial L}{\partial \dot q}$. Si $q$ es una coordenada adimensional, como sucede con los ángulos, $\dot q$ tendrá unidades de inverso de tiempo, de manera que $p$ (que será un momento angular) tendrá unidades de energía (que son las de $L$) multiplicadas por tiempo, exactamente igual que $S$.

En cualquier caso, está muy claro que $S=\int L\dd t$ es un concepto totalmente diferente de $p_{\theta}=\dst \frac{\partial L}{\partial \dot \theta}$

Estuve leyendo un poco más acerca de este tema. Si es cierto, son dos conceptos totalmente diferentes. Lo mismo sucedería si yo calculo la energía del sistema en cuestión y lo multiplico por el tiempo durante el cual lo voy a estudiar; esto ya no sería ni la acción, ni el momento angular, ciertamente es otra cantidad. Lo que si es cierto, y al referirme a esto me remito al libro de Landau, es:

"...el valor relativo de la constante de Planck, h, respecto de otras magnitudes de igual dimensión determina el <<grado de cuantificación>> de un sistema físico..."

Así me queda todo un poco más claro, es decir, una cosa es la acción, otra el momento angular, otra es la energía multiplicada por el tiempo, etc. Pero todas estas cantidades tienen en común que tienen las mismas dimensiones que la constante de Planck, por tanto lleva a ver el fenómeno y si estas cantidades son de este orden, entonces el tratamiento que se llevaría a cabo podría ser clásico o podría ser cuántico.

P.D. Quizás y haga un blog acerca de este tema.

saludos