hamiltoniano

[nena85]

Hola!alguien puede decirme como calcular las ecuaciones de un pendulo esférico usando el método hamiltoniano??
Muchisimas gracias!!!

[Entro]

Re: hamiltoniano

Lo más facil sería empezar por el método lagrangiano, estimar las energías puestas en juego y luego proceder a una transformacion de Legendre. Para ello deberás identificar el momento canónicamente conjugado a cada variable de configuración aplicando el método de calcular la "derivada" del lagrangiano respecto a la derivada temporal de cada una de esas variables.

[Pablo]

Re: hamiltoniano

Hola!alguien puede decirme como calcular las ecuaciones de un pendulo esférico usando el método hamiltoniano??
Muchisimas gracias!!!

El sistema estaría compuesto de coordenadas angulares theta, phi y de una longitud que si queremos la podemos considerar variable con el tiempo, aunque no es necesario, supongamos que el hilo es inextensible y dos grados de libertad.

X= l sen theta cos phi
y= l sen theta sen phi
z = l cos theta

T = 1/2 *m *(vx**2+ vy**2+vz**2) siendo vx la velocidad en la direccion x que es lo mismo que decir como x punto.

V=mgz=mglcos theta

L=T-V=T = 1/2 *m *(vx**2+ vy**2+vz**2)-mglcos theta

Habrá que plantear dos ecuaciones para los dos grados de libertad y tienes las ecuaciones de Lagrange, obtienes de aquí los momentos lineales para cada grado de libertad.

Luego, como bien dijo Entro, mediante una transformación de Legendre, H=
Sumatorio( p sub i · q sub i ) - L, siendo q sub i la coordenada asociada a cada grado de libertad, entonces tendrias la hamiltoniana del sistema.

Saludos.

[nena85]

Re: hamiltoniano

Tambien se obtendria ese hamiltoniano si en el punto de suspension se tomase U=0 y el péndulo considerásemos que gira "por debajo del eje x" o se obtendria con el signo contrario para la energia potencial?

[pod]

Re: hamiltoniano

¿Ein? ¿Estás pensando en algo similar a un metrónomo?

[nena85]

Re: hamiltoniano

No, imagina una barra horizontal. Y que el péndulo pende de ella hacia abajo, y en ese punto dle que pende U=0

[pod]

Re: hamiltoniano

Pues será lo mismo pero sumando una constante que te dará el cambio en el origen de energías potenciales. Pero una constante en el hamiltoniano no juega ningún papel.

[Pablo]

Re: hamiltoniano

No, imagina una barra horizontal. Y que el péndulo pende de ella hacia abajo, y en ese punto dle que pende U=0

Pero esa es la aproximacion que se realiza para poner de manifiesto que la energia potencia U(x=0)=0, tambien podrias considerar que U(x=0)=k, siendo k=cte. de todas formas en el calculo del hamiltoniano, como dice pod, es irrelevante, porque tan solo tienes que valorar H=T+U (donde U=mgz + k), cuando realizas las correspondientes derivaciones la constante se elimina y te quedan las ecuaciones como si esta constante la hubieses tomado como k=0, luego no es tan importante.

Si considerases el problema del pendulo esferico en terminos de la teoria de las pertubaciones este es otro problema porque la energia potencial puede ser considerada como la suma de varios elementos de orden superior a x al cuadrado.

Saludos.