1r ciclo Duda sobre mecánica: lagrangiano

[mocc]

Aluien puede decirme como hacer el siguiente problema con Lagrange o hamilton?

"Una partícula de masa m está sobre el plano horizontal. El plano se levanta una inclinación tita a un ritmo constante alfa (tita=0 a t=0), haciendo que la partícula se mueva hacia abajo por el plano. Determina el movimiento de la partícula"

Es que no se como empezar....

Muchas gracias.

[jo0000se]

Re: duda sobre mecánica

Vamos a probar... de hamilton y lagrange ni idea, pero con la mecánica de toda la vida y algo de Ecuaciones Diferenciales... yo diría que algo dará. Espero que te sirva!

Plantea una situación intermedia: busquemos la aceleración en cada momento.
F = m * a = m * g * sin(tita)
Es decir, en cada momento la fuerza que actua sobre la partícula es igual a la componente del peso que 'tira hacia abajo'. Así, tenemos

a = g * sin(tita)

Integra a para obtener v

v - v inicial = int(g*sin(tita) dt) como dice que el angulo tita aumenta de manera constante según alfa, tita en todo momento es tita = alfa * t.
Coloca eso en la integral y ala, a integrar se ha dicho!

[mocc]

Re: duda sobre mecánica

Ya, pero lo que necesito es la ecuación de movimiento....

Muchas gracias!

[jo0000se]

Re: duda sobre mecánica

Y la ecuación del movimiento no la puedes sacar integrando la velocidad? Al in y al cabo tu partícula se va a mover en 1 sola dirección paralela al gradiente de tu plano en cada momento, tal como se describe el problema en el enunciado es un movimiento en 1 dimensión... coloca tus ejes acorde al movimiento de tu partícula y trabajalo como si fuera en 1 sola dimensión.

[mocc]

Re: duda sobre mecánica

Entonces obtuve:
v-v0=int(g*sin(alfa*t)*dt)=-g*cos(alfa*t)/alfa
por lo que:
v=-1/alfa*g*cos(alfa*t)+v0
x=int(v*dt)=-1/alfa*int(g*cos(alfa*t)*dt)=-1/(alfa^2)*g*sin(alfa*t)

es eso??

[jo0000se]

Re: duda sobre mecánica

En principio... yo lo haría así. No sé si te servirá o no . De todos modos iré echando un ojo al post por si se me ocurre alguna otra cosa.

[pod]

Re: duda sobre mecánica

La ecuación del movimiento que puedas obtener mediante la segunda ley de Newton será la equivalente que desde Hamilton o Lagrange... obviamente, sino alguna de las formulaciones estaría mal (aunque no siempre es obvio que son equivalentes, sobre todo por que las variables dinámicas pueden ser diferentes)

Tenemos dos grados de libertad: x e y. Suponemos que el eje que fijo es el OY, y el que se va inclinando es el OX. Así, pues, tenemos, en las tres formulaciones:


Newton

En estas condiciones, la fuerza es $\vec F = \big(- m g \sin(\alpha t) ,\ 0\big)$ (el signo dependerá de a que lado se inclina el plano). La ecuación del movimiento es, simplemente la segunda ley de Newton, que nos da dos componentes:

$$\begin{aligned}<br /> \frac{\dd^2 x}{\dd t^2} & = -g \sin(\alpha t) \ , \\<br /> \frac{\dd^2 y}{\dd t^2} & = 0 \ .<br /> \end{aligned}$$

Lagrange

En este caso, necesitamos la lagrangiana, y para ello necesitamos las energía cinética y potencial. La energía cinética es trivial,

$$T = \frac12 m \Big( \dot x^2 + \dot y^2 \Big) \ .$$

La energía potencial es una integración directa de la fuerza, es decir

$$V = m g x \sin(\alpha t) \ .$$

Nota que también se puede deducir como la usual $mgh$, donde por trigonometría $h = x \sin(\alpha t)$.

Para terminar, tienes que expresar el lagrangiano, $L = T - V$, y aplicar directamente las ecuaciones de Euler-Lagrange. Tendrás dos, una para x y otra para y.


Hamiltoniano

El hamiltoniano es $H = T + V$, pero tienes que expresarlo en función de los momentos; es decir,

$$T = \frac{p_x^2}{2m} + \frac{p_y^2}{2m}\ .$$

Las ecuaciones del movimiento serán las de Hamilton (en este caso tendrás cuatro, una para cada posición y otra para cada momento).

[jo0000se]

Re: duda sobre mecánica

Pues eso... lo que yo decía . Menuda lección, no veas! En fin, mocc, perdona por no haber sido de más ayuda, la próxima vez será! ;D

[mocc]

Re: duda sobre mecánica

Me ha salido:

x´=Px/m

y´=Py/m

Px´=-m*g*sin(alfa*t)

Py´=0

Está bien?

[pod]

Re: duda sobre mecánica

A mi me parece que sí.

Ahora, si quieres ejercitarte, podrías calcular las ecuaciones del movimiento en mecánica de Lagrange.

[mocc]

Re: duda sobre mecánica

Con Lagrange me ha salido:

x´´+g*sin(alfa*t)=0

y´´=0

correcto?


Muchas gracias!!

[pod]

Re: duda sobre mecánica

Sí... fíjate que además es lo mismo que sale con la segunda ley de Newton. En este caso, el contacto es más directo por que las variables dinámicas son las mismas (en cambio e, Hamilton hay el doble, al contar también los momentos).