ecs. movimiento

[mocc]

Hola!he calculado el lagrangiano de un péndulo esférico con U=0 en el punto de suspensión, y me ha salido:

$L = \frac{1}{2}ml^2(\dot{\theta}^2+ \dot{\phi}^2\sin^2\theta)+mgl\cos\theta$

esta bien??ahora como puedo calcular las ecs de movimiento usando Hamilton?

Gracias!

[pod]

Re: ecs. movimiento

Tiene buena pinta.

Ahora haz la transformación de Legendre,

$$H = p_\theta \dot\theta + p_\phi \dot\phi - L \ ,$$

donde

$$p_\phi = \dfrac{\partial L}{\partial\dot\phi}\ ,$$

y análogamente para el otro ángulo. Después, aplica las ecuaciones de Hamilton.

[mocc]

Re: ecs. movimiento

Me ha salido:
phi´=P_phi/(m*l^2*sin^2(tita))

tita´=P_tita/(m*l^2)

P_phi´=0

P_tita´=tita´*m*g*l*sin(tita)

Estará bien?

[pod]

Re: ecs. movimiento

A mi, al menos, no me sale igual. Vamos por partes, el Hamiltoniano debería ser

$$H = \frac{1}{2m\ell^2}\left( p_\theta^2 + \frac{p_\phi^2}{\sin^2\theta}\right) - m g \ell \cos\theta \ .$$

[mocc]

Re: ecs. movimiento

Cierto, el hamiltoniano lo tenia bien, pero luego me lie al derivar, asi ya esta bien?

phi´=P_phi/(m*l^2*sin^2(tita))

tita´=P_tita/(2*m^2*l^4)

P_phi´=0

P_tita´=tita´*m*g*l*sin(tita)-[P_phi^2*cos(tita)/m*sin(tita)^3]

[pod]

Re: ecs. movimiento

Un inciso: la letra $\theta$ en español se llama zeta. Si quieres llamarla a la americana, seria "zita". Deja el apéndice masculino para lo que sirve

En la segunda ecuación te sobra un dos, y no se como elevas a la cuarta la longitud.

En la cuarta, el signo global parece estar mal (recuerda que esa ecuación de Hamilton lleva un signo). Te falta una constante "l" en el segundo término. En el primer termino, la zeta' no debe ir; es una derivada parcial, no total.

[mocc]

Re: ecs. movimiento

asi?

phi´=P_phi/(m*l^2*sin^2(tita))

tita´=P_tita/(m*l^2)

P_phi´=0

P_tita´=-m*g*l*sin(tita)-[P_phi^2*/m*l^2*sin(tita)^3]

[pod]

Re: ecs. movimiento

asi?

phi´=P_phi/(m*l^2*sin^2(tita))

tita´=P_tita/(m*l^2)

P_phi´=0

P_tita´=-m*g*l*sin(tita)-[P_phi^2*/m*l^2*sin(tita)^3]

Diría que te falta un signo en la última ecuación:

$$\dot p_\theta = - \frac{\partial H}{\partial \theta} \ .$$

Al derivar el seno en el denominador, sale otro signo (que cancelará el anterior), y este término será positivo. El otro término, ya está bien.

Detalles, pero bueno, hay que tener cuidado.

[mocc]

Re: ecs. movimiento

Cierto, lo tengo bien.
Me equivoqué al copiártelo aquí.
Muchas gracias!