2o ciclo problema oscilaciones

[mocc]

¿Como se hace este ejercicio?

Dos pendulos de masa m, cte k, y longitud l, se disponen segun la figura. En la posicion de equilibrio el pendulo no esta deformado.Hallar las frecuencias propias y los modos normales para pequeñas oscilaciones y condiciones iniciales q1(0) distinto de 0, q1'(0)=0. Explica como son los modos hallados.

Muchas gracias

[Rolo]

Re: problema oscilaciones

Yo primero hallaría las ecuaciones de movimiento para el sistema, que así mirando a ojito, vas a tener dos ecuaciones de movimiento acopladas... Luego buscaría los modos normales del sistema, es decir, frecuencia y relación de amplitudes para cada uno de los dos modos...
La solución final será una combinación lineal de dichos modos.
¿Qué combinación lineal es la que me sirve? Bueno, pues la que respete las condiciones iniciales que te han dado.
Saludos,
Rolo

[mocc]

Re: problema oscilaciones

y las ecs de movimiento podrian ser:

mx1''+k(x2-x1)=0

mx2''+k(x1-x2)=0


si no son...como se se obtienen?


Gracias!

[[Beto]]

Re: problema oscilaciones

Hola, creo que este ejercicio se puede desarrollar así:

Encontramos el Lagrangiano del sistema:

Primero la energía cinética:

$$T=\frac{1}{2}m\ell^2\dot\theta_1^2+\frac{1}{2}\ell^2 \dot\theta_2^2$$

Luego para la energía potencial, como es la suma de la energía potencial gravitatoria más la elástica las hallamos por separado:

Energía potencial gravitatoria:

$$U_g=mg\ell\cos\theta_1+mg\ell\cos\theta_2$$

Luego la energía potencial elástica, donde creo que es el problema:

$$U_e=\frac{1}{2}k(\Delta x^2+\Delta y^2)$$

Si es que haces un gráfico notarás que:

$\Delta x=\ell(\sin\theta_2-\sin\theta_1)$

$\Delta y=\ell(\sin\theta_2\tan\frac{\theta_2}{2}-\sin\theta_1\tan\frac{\theta_1}{2})$

Finalmente como $L=T-U$ se tiene que:

$$\begin{aligned}<br /> L&=\frac{1}{2}m \ell^2(\dot\theta_1^2+\dot\theta_2^2)- mg\ell(\cos\theta_1+\cos\theta_2)\\&\quad- \frac{1}{2}k\ell^2\left[(\sin\theta_2-\sin\theta_1)^2+\left(\sin\theta_2 \tan\frac{\theta_2}{2}-\sin\theta_1\tan\frac{\theta_1}{2}\right)^2\right]<br /> \end{aligned}$$

Luego usando las ecuaciones de Euler-Lagrange puedes obtener un sistema de dos ecuaciones diferenciales, además tienes que hacer la aproximación para ángulos pequeños.

Después procede como en el ejercicio (2) parte (5) de ACÁ

Pd: Corríjanme si me equivoco.

[mocc]

Re: problema oscilaciones

Muchas gracias!

[alejandrito29]

Re: problema oscilaciones

y usando el Hamiltoneano como se haria este ejercicio?

[pod]

Re: problema oscilaciones

y usando el Hamiltoneano como se haria este ejercicio?

Obtendrás el hamiltoniano a partir del lagrangiano, haciendo la transformada correspondiente.

[lindtaylor]

Re: problema oscilaciones

Beto como obtuviste $\Delta y$ ?