Aplicaciones y diferencias entre la mecanica clasica, langraniana y hamiltoniana

[JiraiyA]

HOLA esta es una pregunta humilde de un estudiante de ingenieria .Bueno yo como la mayoria que somos nuevos en este foro queremos aprender en este foro con la ayuda tan gentil de quienes los da den.
He oido hablar de una mecanica denominada HAMILTONIANA y otra LANGRANIANA , pues bien cada modelo fisico tiene sus porques y su interpretaciones.
MI preguntas son dos

¿Cuales son las diferencias entre estas tres mecanicas(clasica,hamiltoniana,langraniana , cuales son los punto de vista de analizar los problemas fisicos ?

¿Cuales son la aplicaciones de estos modelos fisicos a la ingenieria?

[pod]

Re: aplicaciones y diferencias entre la mecanica clasica ,langraniana yhamiltoniana

Primero tienes que saber que no son modelos, sino teorías marco. Una teoría marco es un cuerpo matemático estructurado que, normalmente, depende de un objeto que uno debe buscar por otros medios. Una vez dado ese objeto, podemos calcularlo todo.

Un ejemplo para que lo entiendas: la mecánica newtoniana. La ley fundamental es la segunda de Newton, F = m a. Pero nadie te dice que es la fuerza. Para hacer un cálculo, primero tienes que modelar el sistema escribiendo una expresión para todas las fuerzas que aparecen; y a partir de ahí ya puedes hacerlo todo. Cuando inyectas una expresión para la fuerza, entondes ya tienes un modelo, estudiado en el marco de la mecánica newtoniana.

Pues bien, las mecánicas de Lagrange y de Hamiltón tienen un funcionamiento similar. Requieren un ingrediente básico, el lagragniano y el hamiltoniano, respectivamente. Si escribimos un lagrangiano, entonces estudiamos un modelo en el marco de la mecánica de Lagrange. Si escribimos un Hamiltoniano, entonces tenemos un modelo en el marco de la mecánica de Hamtilon. Así de sencillo.

En principio, uno podría coger cualquiera de estas tres formulaciones de la mecánica y trabajar como si fuera la única que existiera. No obstante, existen mecanismos para pasar de una a otra. Es decir, supón que tenemos un sistema modelizado en mecánica de newtoniano (básicamente, tenemos una colección de fuerzas). Pues existe un método sencillo para escribir el lagrangiano, que consiste básicamente en calcular la energía cinética y la potencial, y restarlas: L = T - U. Y una vez tenemos un lagrangiano, encontrar el hamiltoniano es sencillo, básicamente consiste en hacer una transformación de Legendre.

Así, pues, uno puede tener un modelo físico escrito en las tres formulaciones. Y, naturalmente, los resultados son equivalentes; mal iríamos si la naturaleza fuera diferente dependiendo de como decidimos estudiarla.

¿Por qué tantas formulaciones si después dan lo mismo? Pues por que las formulaciones teóricas dan mayor comprensión de los fenómenos. Con ellos, es sencillo encontrar las leyes de conservación, y ver que están relacionadas con determinadas simetrías del sistema. Además, permiten encontrar las ecuaciones del movimiento de muchos sistemas de una forma relativamente sencilla, ya que muchas fuerzas internas no necesitan sere tenidas en cuenta (se substituyen por el concepto de ligadura).

Un último apunte, preguntas las diferencias ente tres mecánicas, y citas clásica como una de ellas... No es así, tanto la mecánica de newton, como la de lagrange, como la de hamilton... todas ellas, son clásicas. Son diferentes formulaciones de la mecánica clásica. Ahora bien, son imprescindibles para el desarrollo de la física cuántica, puesto que a partir de ellas se puede definir el proceso de cuantización canónica... pero eso es otra historia.

Y en cuanto al uso de estas formulaciones en ingeniería... es posible que en aquellas que tengan más física lleguen a darla en clases, pero lo más común es que no lo hagan, ya que ellos no buscan entender los fenómenos, sino simplemente (que no es poco) buscar el resultado de la forma más rápida posible y ver que aplicaciones puede tener. Todos los modelos se pueden resolver en cualquiera de las formulaciones, otra cosa es que en alguno resulte más sencillo.

[Entro]

Re: aplicaciones y diferencias entre la mecanica clasica ,langraniana yhamiltoniana

En realidad las tres formulaciones son clásicas.

La Mecánica Newtoniana: Esta fundamentada en un tratamiento vectorial. Para determinar la dinámica de un sistema hemos de conocer todas las fuerzas aplicadas sobre el mismo. Y esto en sistemas no demasiado complejos se convierte en un trabajo formidable.

La Mecánica Lagrangiana y Hamiltoniana:

Estas se fundamentan en la existencia de una función escalar (Lagrangiano o Hamiltoniano) que condensa toda la información dinámica de un sistema.

Estas funciones están determinadas por el principio de Acción. La acción es una función (mejor dicho un funcional) de las coordenadas y velocidades de un sistema. (entendiendo por coordenadas y velocidades no a las típicas (x,y,z) sino a cualquier coordenada que identifique la posición y el desplazamiento del sistema, por ejemplo en un péndulo su ángulo, es lo que se conoce como coordenadas generalizadas).

Se da por principio que las ecuaciones de movimiento de un sistema, que son las relaciones entre coordenadas y velocidades que explican el movimiento del mismo, son aquellas que sus soluciones (coordenadas y velocidades en el movimiento) hacen que la acción tenga un extremo ( primera variación nula, esto es igual que en funciones que para saber si una tiene un máx o un mín hemos de mirar cuando se anula la primera derivada).

Se puede probar que para que la Acción tenga un extremo se ha de cumplir una ecuación denominada ecuación de Euler-Lagrange. Esta ecuación son derivadas de una función escalar (no tienen ni dirección ni sentido) denominada Lagrangiana que depende de posiciones y velocidades. En muchas ocasiones esta lagrangiana es la diferencia entre la energía cinética y la potencial del sistema.

El Lagrangiano por lo tanto es una función puramente escalar que contiene toda la información dinámica del sistema.

El Hamiltoniano es otra función escalar, pero esta surge de lo siguiente:

El Lagrangiano da lugar a las ecuaciones de movimiento cuando resolvemos la ecuación de Euler-Lagrange. Estas son ecuaciones de segundo orden, hay derivadas segundas involucradas. A veces es más oportuno hacer los problemas con ecuaciones de primer orden.

Pues bien, esto se puede conseguir. Podemos transformar el Lagrangiano en un Hamiltoniano, básicamente sustituyendo las velocidades por momentos a través de la transformación de Legendre. Y las ecuaciones de Euler-Lagrange, se duplican en un sistema de ecuaciones de primer orden que son las ecuaciones de Hamilton.

En sistemas simples el Hamiltoniano simplemente es la suma de la energía cinética y energía potencial del sistema.


Lo que tienen de bueno estas formulaciones son muchas cosas, unas pocas son:

1º No necesitamos conocer todas las fuerzas que actuan.

2º Son funciones escalares.

3º Están muy determinadas por las simetrías del sistema.

4º Se pueden extender más allá de física de partículas a física de campos o sistemas extensos.

5º Hacen posible acometer la cuantización del sistema.

En ingenierías no me consta que se usen mucho, ni que se estudien, esto es normal si pensamos que ahí si hace falta saber donde y cómo son las fuerzas aplicadas, sobre todo si hay que meterse en estructuras y esas cosas. Pero si es cierto que hay campos ingenieriles que están empezando a aplicar estas técnicas, por ejemplo en acústica.


http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_acci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_lagrangiana
http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_hamiltoniana

[Rolo]

Re: aplicaciones y diferencias entre la mecanica clasica ,langraniana yhamiltoniana

En ingenierías no me consta que se usen mucho, ni que se estudien, esto es normal si pensamos que ahí si hace falta saber donde y cómo son las fuerzas aplicadas, sobre todo si hay que meterse en estructuras y esas cosas. Pero si es cierto que hay campos ingenieriles que están empezando a aplicar estas técnicas, por ejemplo en acústica.

Aquí en mi facultad (ingeniería) se da la mecánica lagrangiana con bastante detalle, y sin embargo se relega la mecánica hamiltoniana a breves comentarios al pasar... En particular, está medio orientado a hacer incapié en la facilidad de cálculo con las ecuaciones de lagrange.

Pero quedé curioso sobre las aplicaciones en acústica ???
No me doy cuenta como sería eso...

Saludos,
Rolo

[Entro]

Re: aplicaciones y diferencias entre la mecanica clasica ,langraniana yhamiltoniana

Bueno yo no soy experto en aplicaciones ingenieriles, pero tengo compañeros físicos trabajando en departamentos de acustica en universidades politécnicas que están aplicando metodos lagrangiano al estudio de ondas sonoras. Por lo visto no era algo usual entre los ingenieros y están recibiendo bastante atención porque el formalismo es bastante potente. Me enteraré de los detalles.

[JiraiyA]

Re: aplicaciones y diferencias entre la mecanica clasica, langraniana y hamiltoniana

Bueno ,gracias por la aclaracion.Entonces Seria MECANICA NEWTONIANA en vez de clasica ,PERDONEN EL ERROR

[pod]

Re: aplicaciones y diferencias entre la mecanica clasica, langraniana y hamiltoniana

Hombre, si naciéramos todos enseñados no nos haría falta esta web

[u_maligno]

Re: aplicaciones y diferencias entre la mecanica clasica, langraniana y hamiltoniana

Estas funciones están determinadas por el principio de Acción. La acción es una función (mejor dicho un funcional) de las coordenadas y velocidades de un sistema. (entendiendo por coordenadas y velocidades no a las típicas (x,y,z) sino a cualquier coordenada que identifique la posición y el desplazamiento del sistema, por ejemplo en un péndulo su ángulo, es lo que se conoce como coordenadas generalizadas).

Igual es una pregunta chorra pero ¿esto tiene algo que ver con lo de la "acción a distancia" de Newton?

Gracias.

[pod]

Re: aplicaciones y diferencias entre la mecanica clasica, langraniana y hamiltoniana

Igual es una pregunta chorra pero ¿esto tiene algo que ver con lo de la "acción a distancia" de Newton?

Gracias.

No mucho, no...

[Entro]

Re: aplicaciones y diferencias entre la mecanica clasica, langraniana y hamiltoniana

Yo diría entre no mucho y nada.

La acción a distancia hace referencia a que dos sistemas puedan interactuar instantaneamente sin importar su distancia de separación.

La acción en mecánica teórica y en toda la física, es una cantidad con unidades de energía por tiempo que tiene la habilidad de reproducir las ecuaciones de movimiento consistentes con las simetrías del sistema a través de derivadas de la misma (más bien a través de estudiar sus extremos)

[u_maligno]

Re: aplicaciones y diferencias entre la mecanica clasica, langraniana y hamiltoniana

Gracias Entro, a pod no, que no me explicó por qué .