2o ciclo Explicación sistema (no) integrable

Hola,

¿Alguien podría explicarme un poco en qué consisten los sistemas integrables sin recurrir a la geometría diferencial?

Lo poco que he visto emplea variedades simplécticas, foliaciones y conceptos que todavía no he estudiado.

[[Beto]]

Re: Explicación sistema (no) integrable

Si lo pensamos desde la Física, serían un conjunto de ecuaciones de movimiento que las puedes resolver para las condiciones iniciales usando cuadraturas, esas cuadraturas son las que conocemos como constantes de movimiento ... por ejemplo cuando en determinados casos se conserva la energía o el momento.

Un ejemplo sencillo sería las ecuaciones de movimiento que describen el movimiento de una partícula en un campo de fuerza central.

[pod]

Re: Explicación sistema (no) integrable

O, dicho de otra manera, un sistema en que puedes encontrar tantas constantes del movimiento independientes entre si como grados de libertad tienes. Siguiendo con el buen ejemplo de Beto, en un sistema de fuerzas centrales tienes tres grados de libertad y tres constantes del movimiento: por ejemplo, las tres componentes del momento angular. También puedes elegir usar la componente del momento angular perpendicular al plano del movimiento, el momento total en esa misma dirección y la energía.

Hay un teorema que te asegura que si tienes tantas constantes del movimiento como grados de libertad entonces siempre puedes obtener una solución de las ecuaciones del movimiento, sin tener que resolverlas directamente. Probablemente lo que hayas estado viendo hasta el momento es que cada constante del movimiento está asociado a un vector de Killing en la variedad, y todo eso. Pero la idea es esa: tantas constantes como variables.

[carroza]

Re: Explicación sistema (no) integrable

Hola.

Voy a matizar algo lo dicho por Pod y beto. No basta para que un sistema sea integrable que tenga tantas constantes de movimiento como grados de libertad. Debe ser posible redefinir las coordenadas para que el hamiltoniano sea separable en variables acción- ángulo, y además en esa representación el hamiltoniano debe ser independiente de las variables ángulo, con lo que las variables de acción son constantes de movimiento.

Por ejemplo, en el problema de un cuerpo sometido a interacciones centrales, hay tres grados de libertad, pero hay cuatro constantes de movimiento, la energía y las tres componentes del momento angular. Incluso si conocemos la energía y el momento angular, no podemos conocer las trayectoria. Hay infinitas trayectorias consistentes con una energía y un momento angular determinado. Además, para un potencial arbitrario, las trayectorias no son cerradas, luego difícilmente podemos considerar el sistema integrable.

Sin embargo, si consideramos el problema de Kepler (interacciones centrales, con un potencial de tipo 1/r), además del momento angular y la energía, tenemos otras constantes de movimiento, dadas por el vector de Runge-Lenz, que siempre apunta a lo largo del semieje mayor de la trayectoria. En este caso, tenemos 7 constantes de movimiento (no todas independientes, por supuesto), que determinan unívocamente trayectorias cerradas (elipses). Este sí es un problema genuinamente integrable.

Un saludo

[jinawee]

Re: Explicación sistema (no) integrable

Gracias por las respuestas.

Por lo visto para entenderlo bien hace falta saber las ecuaciones de Hamilton-Jacobi.