1r ciclo ¿Qué radio debería tener la Tierra para ser un agujero negro?

[MrM]

Este año empezaré primero de física, así que llevo todo el verano preparándome por mi cuenta. Estoy haciendo una colección de ejercicios que me ha mandado un amigo, pero hay uno en el que estoy un poco "atascado". Yo lo desarrollo y llego a una solución aparentemente lógica, pero aún así me gustaría que alguien me confirmase si mi respuesta es correcta o no.

Ahí va el enunciado:
si la masa de La Tierra es $M_T=5,98\cdot {10}^{24}kg$, calcula cuál debería ser su radio para que se convierta en un agujero negro. Se te permite utilizar cualquier dato que conozcas ($G, R_T, etc.$).

Normalmente en estos enunciados te dan como dato cosas que te sirven de pista, pero en este caso te dejan utilizar "cualquier dato que conozcas", por lo que no hay pista xD
Yo lo que he hecho es utilizar la fórmula de la velocidad de escape, $v_e=\sqrt{\frac{2GM_T}{r}}$. Se supone que de un agujero negro no puede escapar nada, ni siquiera la luz, por lo que $v_e>c$ (consideramos $c=3\cdot {10}^{8}$).

Por lo tanto, debe cumplirse la inecuación $\sqrt{\frac{2GM_T}{r}}>c \Rightarrow \frac{2GM_T}{r}>{c}^{2} \Rightarrow r<\frac{2GM_T}{{c}^{2}} \Rightarrow r<8,86\cdot {10}^{-3}m$

Por lo tanto, si el radio de la tierra fuera menor a $8,86\cdot {10}^{-3}m$, ésta sería un agujero negro (suponiendo que conservara su masa). ¿Es correcto? Lo pregunto porque un amigo que también va a estudiar física ha hecho lo mismo, pero en lugar de hacer una inecuación lo hace como si fuera una igualdad. Creo que él se equivoca, porque hacer $v_e=c$ implica que la luz sí puede escaparse del agujero negro, pero siempre viene bien tener la opinión de expertos.

Un saludo.

[Weip]

Re: ¿Qué radio debería tener la Tierra para ser un agujero negro?

No he hecho las cuentas pero el razonamiento es correcto. Mucha gente (incluso físicos) pone una igualdad y no una desigualdad. Eso es incorrecto, pero todo el mundo lo hace así que...

Edito: Me acabo de dar cuenta, has puesto una desigualdad estricta cuando debería ser un más grande o igual. Recuerda que la velocidad de escape es la velocidad mínima para escapar del campo gravitatorio de un cuerpo.

[MrM]

Re: ¿Qué radio debería tener la Tierra para ser un agujero negro?

¿Entonces $v_e\geqslant c$? Al principio lo pensé, pero eso implicaría que la velocidad mínima para escapar del agujero negro ($v_e$) puede ser igual a c, y según tengo entendido, ni la luz puede escapar a un agujero negro. Si pudieras aclararme esto me harías un favor

[Weip]

Re: ¿Qué radio debería tener la Tierra para ser un agujero negro?

Cuando dices $v_e=c$, $c$ no está incluida. Por eso se llama velocidad de escape, es una velocidad mínima. Esto suele causar confusiones, pero es así. También puedes poner una desigualdad estricta y aclararlo, pero es redundante: estarías diciendo que es la velocidad mínima dos veces. Es decir, en un agujero negro la velocidad mínima para escapar de él es $c$. Obviamente también puedes decir cualquier velocidad superior, pero la mínima (y no incluida) es $c$. No sé si esta explicación te servirá, pensaré en alguna mejor más fácil de entender.

[MrM]

Re: ¿Qué radio debería tener la Tierra para ser un agujero negro?

Cuando dices $v_e=c$, $c$ no está incluida. Por eso se llama velocidad de escape, es una velocidad mínima. Esto suele causar confusiones, pero es así. También puedes poner una desigualdad estricta y aclararlo, pero es redundante: estarías diciendo que es la velocidad mínima dos veces. Es decir, en un agujero negro la velocidad mínima para escapar de él es $c$. Obviamente también puedes decir cualquier velocidad superior, pero la mínima (y no incluida) es $c$. No sé si esta explicación te servirá, pensaré en alguna mejor más fácil de entender.

Vale, creo que ahora sí lo entiendo. Cuando di la velocidad de escape, el profesor no mencionó que esa velocidad no estaba incluida.
Muchas gracias.

[Weip]

Re: ¿Qué radio debería tener la Tierra para ser un agujero negro?

Por eso en la práctica se suele explicar también con palabras, para no caer en confusiones. Si tu profesor no lo mencionó, debería haber aclarado como está usando el concepto y que criterio usa.

[natanael]

Re: ¿Qué radio debería tener la Tierra para ser un agujero negro?

La solución matemática a un problema físico, a veces, desconcierta . Cuando abrí el hilo pensé que la solución del problema iba a tener como mínimo unas 10 integrales triples sobre tensores, operadores y demás matemáticas locas! pero... ya veo que aveces sólo se necesitan pequeños tips para encontrar una solución!

[visitante20160513]

Re: ¿Qué radio debería tener la Tierra para ser un agujero negro?

Nunca debes perder de vista que la relatividad general es tan solo una aproximación de las teorías clásicas (mecánica clásica, gravitación newtoniana y electromagnetismo), y que a menudo los valores que se obtienen aplicando las fórmulas clásicas son suficientemente aproximados, claro. Ésta es una regla de aplicación casi general, pero que surge de forma natural si se tiene en cuenta lo anterior. Es solo en los casos más extremos es decir cuando se trabaja a velocidades próximas a la de la luz o con campos gravitatorios muy intensos cuando se aprecian las diferencias que dicha teoría establece. Este es un caso simple que puede plantearse con la visión clásica, aunque hoy en día hay también estudios muy sofisticados basados en la teoría general de relatividad e incluso en mecánica cuántica que justifican la idea que genera el concepto de agujero negro, y que nos dan una visión mucho más compleja de lo que realmente es un agujero negro, y que en consecuencia se aleja bastante de la visión que muestra este hilo, aunque básicamente la idea principal está bien expuesta, pero siempre son los detalles los que marcan las diferencias, claro.

Salu2, Jabato.

[Weip]

Re: ¿Qué radio debería tener la Tierra para ser un agujero negro?

La solución matemática a un problema físico, a veces, desconcierta . Cuando abrí el hilo pensé que la solución del problema iba a tener como mínimo unas 10 integrales triples sobre tensores, operadores y demás matemáticas locas! pero... ya veo que aveces sólo se necesitan pequeños tips para encontrar una solución!

Tal como dice Jabato, realmente esto se derivó de la Relatividad General y eso es mucho más complicado que esto. Lo que se expone en este hilo es uno de los pocos resultados en los que Mecánica Clásica y Relatividad General coinciden en esos extremos. Así que a efectos calculísticos el ejercicio está bien para conocer más cosas de los agujeros negros. Como veo que desconocías este resultado, puedes buscar por internet. Básicamente se deriva de la conservación de la energía. Aunque eso solo en Mecánica Clásica.