1r ciclo Ecuaciones de Lagrange y Energía Potencial

[Pepealej]

Hola, tengo una duda teórica acerca de las ecuaciones de Lagrange. Concretamente cuando tengo que definir la energía potencial del sistema. Me estoy haciendo mucho lío con los signos que debo asignar a valores como la energía potencial gravitatoria de una partícula, la energía potencial elástica y demás. El signo influye, obviamente, puesto que L=T-V. ¿Cómo y por qué debo escoger un signo u otro para cada energía potencial? Gracias.

[felmon38]

Re: Ecuaciones de Lagrange y Energía Potencial

La energía potencial gravitatoria es mgz (eje Z vertical y hacia arriba) y la energía potencial elástica k.(Δx)²/2. No veo ningún lío de signos.
Saludos.

[Breogan]

Re: Ecuaciones de Lagrange y Energía Potencial

Hola:

Creo que felmon tiene razón a medias, pero usualmente es todo cuestión de matices.

La energía acumulada en un resorte siempre es positiva, ya que depende del cuadrado de la variación de las coordenadas espaciales , así que para cualquier SR siempre sera positiva, hasta donde se.

En cuanto al campo gravitacional hay dos formas posibles de expresarlo:

1º _ Con un signo fijo (+ o -) como inicio de la formula, pero en este caso la constante $g$ tendrá un signo intrínseco, es decir puede ser positivo o negativo, según el SR elegido.

2º _ La otra forma es expresar el signo explicitamente en la energía dependiendo del SR elegido, y considerar que la constante g es siempre positiva independientes del SR.

Esto ocurre en los potenciales que dependen de una potencia impar de la coordenada espacial.
Como regla general podes comprobar los signos con la definición de la energía potencial:

$$\dst \vec F = - \vec \nabla U$$

Por ejemplo para la energía potencial gravitatoria, si tenes un SR con el semieje positivo ("z+", uso la coordenada z porque la uso felmon en el mensaje anterior) vertical hacia arriba, la energía potencial se puede expresar de las dos formas.

1º _ En este SR la fuerza de la gravedad estara expresada por:

$\dst \vec F = - |\vec F| \hat k$

y por la definición de energía potencial tenemos que:

$\dst \vec F = - \vec \nabla U = - \frac{\partial U}{\partial z} \hat k \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial U}{\partial z} = |\vec F| > 0$

a diferencia de felmon yo prefiero, por cuestión de coherencia de signos, expresarla como:

$\dst U = - m \ g \ z$

entonces queda:

$\dst \frac{\partial U}{\partial z} = |\vec F | = - m \ g > 0 \quad \Rightarrow \quad g < 0$

Es decir para este SR ($\dst z+ \uparrow$) con esta de energía potencial gravitatoria nos queda:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Que, si no me equivoque, es coherente en todo con los sentidos de todas las magnitudes vectoriales.

Si tu SR es con el eje positivo hacia abajo ($\dst z+\downarrow$), las mismas formulas te quedan:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Como se ve en ambos SR son las mismas formulas, solo cambia el signo de g, en forma coherente con la convención del sentido de las aceleraciones en cada SR.

2º _ La segunda opción consiste en considerar g > 0 independientemente del SR, quedando entonces que la energía potencial va a depender del SR elegido:

SR: $\dst z+ \uparrow$

$\dst \vec F = - \vec \nabla U = - \frac{\partial U}{\partial z} \hat k \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial U}{\partial z} = |\vec F| > 0$

$\dst U = (signo) \ m \ g \ z$

$\dst \frac{\partial U}{\partial z} = (signo) \ m \ g \ > 0 \quad y \ como \ elegimos \ g > 0 \quad \Rightarrow \quad (signo) = +$

quedando:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y en el otro SR ($\dst z+ \downarrow$) queda:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Esta ultima forma me parece a mi que puede inducir a errores.

Ambas formas son equivalentes, teniendo los cuidados del caso se llega a los mismos resultados, pero la 1º forma me parece un poco mas elegante.
Cualquier sea la forma que elijas, nunca te olvides que siempre debe satisfacer la ecuación (1).

s.e.u.o.

Suerte

[felmon38]

Re: Ecuaciones de Lagrange y Energía Potencial

Breogán, no me extraña que no coincidamos porque, para mí, g es el módulo del vector campo gravitatorio o el módulo del vector aceleración de la gravedad, por lo tanto, intrínsicamente positivo.
Saludos

[pod]

Re: Ecuaciones de Lagrange y Energía Potencial

Hola, tengo una duda teórica acerca de las ecuaciones de Lagrange. Concretamente cuando tengo que definir la energía potencial del sistema. Me estoy haciendo mucho lío con los signos que debo asignar a valores como la energía potencial gravitatoria de una partícula, la energía potencial elástica y demás. El signo influye, obviamente, puesto que L=T-V. ¿Cómo y por qué debo escoger un signo u otro para cada energía potencial? Gracias.

En realidad, el signo de la energía potencial no es "escogible". Viene fijado por la definición de energía potencial,

$$U = - \int_C \!\! \dd \vec r \cdot \vec F .$$

Un truco para saber el signo correcto es el siguiente: la naturaleza siempre tiende a minificar la energía potencial. Es decir, si sabemos que por si solos los cuerpos caen hacia abajo, entonces la energía potencial debe ser más pequeña hacia abajo que hacia arriba, debe decrecer con la altura. En el caso de un muelle, sabemos que éste siempre tiende a recuperar su eloganción original, así que la energía potencial debe crecer con la diferencia de longitud respecto de la longitud natural.

Breogán, no me extraña que no coincidamos porque, para mí, g es el módulo del vector campo gravitatorio o el módulo del vector aceleración de la gravedad, por lo tanto, intrínsicamente positivo.
Saludos

De hecho, por convención, las constantes siempre se toman sin signo. No es que haya muy buenas razones a favor o en contra, si a caso uno argumentaría a favor. El caso es que es una convención. Si a alguien se le ocurre decir que la constante de gravitación universal, por ejemplo, es negativa, entonces poca gente le entendería. El caso que comentáis, g no es una constante universal sino una característica de nuestro planeta, pero el criterio suele ser el mismo. Es algo que se recomienda seguir. Primero, por convención. Segundo, por expresividad: un signo en una fuerza no significa nada sin asociarlo a una base, y queda bastante más expresivo escribir $\vec F = - m g \hat\jmath$ sabiendo que $m, g > 0$ (y por lo tanto, no cambian el signo).

En cualquier caso, volviendo a la pregunta original; el signo de la energía potencial será el que toque ser según la definición. Otra cosa es que nosotros decidamos absorber algún signo en alguna de las magnitudes que aparecen en ella.

[visitante20160513]

Re: Ecuaciones de Lagrange y Energía Potencial

El truco está siempre en el sistema de referencia elegido y en tratar los vectores como lo que son, es decir como vectores. Todos los vectores que se proyectan sobre alguno de los ejes en su sentido positivo tendrán esa componente positiva y vicebersa. Así la fuerza de la gravedad tendrá su componente vertical negativa si se elige el SR de la forma habitual (con $\mathbf u_z$ apuntando hacia arriba) por lo tanto en las ecuaciones se debe utilizar siempre el signo negativo para la gravedad. En el caso contrario la componente de la gravedad será positiva porque tiene el mismo sentido que el semieje positivo de Z. Basta entonces con definir correctamente el SR y usar las definiciones conceptuales para llegar a resultados coherentes. Si se trabaja así, que es como se debe trabajar, no debe haber problemas con los signos.

Salu2, Jabato.

[felmon38]

Re: Ecuaciones de Lagrange y Energía Potencial

Creo que a estas alturas conviene poner un ejemplo de cálculo de la energía potencial gravitatoria.

Sea el sistema formado por dos masas puntuales A y B, que se mueven respecto de la tierra (S..I.), y están unidas por un resorte de constante k y longitud en reposo, l₀. Desarrollar las ecuaciones de Lagrange del conjunto masas-resorte.

Me voy a limitar a expresar su energía potencial. Supongo que la vertical del lugar donde se desarrolla el movimento, permanece constante. Sea u el vector unitario de dirección la vertical y sentido, alejándose de la Tierra. Se elige un sistema de ejes cartesianos arbitrario, unido a la Tierra, siendo su origen O, y las componentes del vector u, cosα_i, i=(1,2,3). Tomando como orígen de la energía potencial el punto O, la energía potencial de las dos masas será:

V= m_A.g.h_A + m_B.g.h_B= m_A.g.r_A.u + m_B.g.r_B.u

Eligiendo como coordenadas lagrangianas, las coordenadas cartesianas de los puntos A y B:

V=${m}_{ A}.g.cos{\alpha}_{1 }.{q}_{ 1}+...+{m}_{ B}.g.cos{\alpha}_{ 1}.g.{q}_{4 }+...$

Las letras en negrita son vectores.

Saludos

[Julián]

Re: Ecuaciones de Lagrange y Energía Potencial

En realidad, el signo de la energía potencial no es "escogible". Viene fijado por la definición de energía potencial,

Esto es debido a que las fuerzas conservativas tienen siempre sentido opuesto a la posición de equilibrio. En cuanto a su definición creo que la mejor es, el trabajo que realiza la fuerza conservativa en llevar el cuerpo desde la posición fijada o tomada hasta el punto de referencia:

$\dst U = {\int}_{r}^{{r}_{0}} \vec{F}. d\vec{r}$

Pero como dije anteriormente, las fuerzas conservativas en la naturaleza tienen el sentido opuesto a la posición de equilibrio excluyendo a la fuerza eléctrica que tiene 2 setidos.

$\dst U = {\int}_{r}^{{r}_{0}} (\frac{mM}{{\left\vert{} r\right\vert{}}^{2}})(- \hat{{u}_{r}}). d\vec{r}= - {\int}_{r}^{{r}_{0}} (\frac{mM}{{\left\vert{} r\right\vert{}}^{2}}) \hat{{u}_{r}}. d\vec{r}$

o

$\dst U = {\int}_{r}^{{r}_{0}} -(k \left\vert{} r\right\vert{}) (- \hat{{u}_{r}}). d\vec{r}= - {\int}_{r}^{{r}_{0}} (k \left\vert{} r\right\vert{} (- \hat{{u}_{r}}) \hat{{u}_{r}}. d\vec{r}$

Es por esto del signo (-).

¿Y por qué no tiene nada que ver el sistema de referencia que elijamos en el signo? Porque si observan el versor $\hat{{u}_{r}}$ es desde el cuerpo que genera la fuerza conservativa, o dicho de otra forma, la posición de equilibrio; con respecto a la posición del cuerpo que analizamos.

Lo que concuerda con

$\dst F = - \nabla U$

[visitante20160513]

Re: Ecuaciones de Lagrange y Energía Potencial

La energía potencial es por definición la capacidad que tiene un cuerpo de realizar trabajo debida a su posición en el seno de un campo de fuerzas conservativo, $F$, cuando se desplaza desde una posición cualquiera hasta la posición de referencia (U=0). Por lo tanto:

$U(r)=\displaystyle\int_{r}^{r_o} \vec F \vec{dr}=-\displaystyle\int_{r_o}^{r} \vec F \vec{dr}$

Por ser el campo conservativo sabemos que dicho trabajo es independiente del camino recorrido. Si yo ahora ejerzo una fuerza igual y opuesta al campo en cada punto, $E$, dicha energía sería el trabajo necesario para llevar el cuerpo desde la posición de referencia (U=0) hasta la posición donde se quiere calcular su energía potencial:

$U(r)=\displaystyle\int_{r}^{r_o} \vec F \vec{dr}=-\displaystyle\int_{r_o}^{r} \vec F \vec{dr}=\displaystyle\int_{r_o}^{r} \vec E \vec{dr}$

De esta forma es fácil entender el concepto de energía potencial, aunque esta última no es la definición ortodoxa. Debes siempre tener en cuenta dos cosas, cual es la trayectoria del cuerpo ($r_o \to r$) y cual es la fuerza que realiza el trabajo (siempre un agente exterior al campo, $E$). Es algo lioso pero si te acostumbras a trabajar de esta forma pues no es difícil. La energía potencial siempre coincide con el trabajo que es necesario realizar (contra el campo) para llevar el cuerpo desde la posición de referencia hasta la posición donde se quiere calcular la energía.

La energía potencial de un piano situado en la quinta planta de un edificio es exactamente igual al trabajo necesario para subirlo:

$-F=E=mg\qquad\to\qquad U(h)=\displaystyle\int_0^h mgdh=mgh$

Salu2, Jabato.