1r ciclo Ecuación de onda

[Castelao]

Hola, tengo el siguiente problema: "se tiene una cuerda, descrita por $u=u(x,t)$, de longitud $L$ y unida a unos anillos en sus extremos que se mueven sin fricción y verticalmente por barras rígidas, que verifica la ecuación de onda $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{1}{ v^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}$. Mostrar que la condición de contorno en los extremos ($x=0$ y $x=L$) es $\frac{\partial u}{\partial x }=0$. Calcular los modos de oscilación, las frecuencias y las longitudes de onda permitidas."

Ya he demostrado la condición de contorno haciendo uso de la tensión y la aproximación de ángulos pequeños, teniendo en cuenta que $m_{anillo}\approx 0$. Para la segunda parte planteo la ecuación de onda y la resuelvo por separación de variables. En este proceso aplico la condición de contorno hallada antes, y resuelvo. Hasta ahí todo bien, pero el problema es que obtengo la misma solución que para una cuerda atada por ambos extremos y no encuentro el fallo (si es que lo hay).

En concreto, si separo

$$u(x,t)=X(x)T(t)$$

llego a que

$$X_n(x)=A cos(k_n x)+B sin(k_n x)$$

Aplicando las c.c se tiene que $B=0$ y que

$$-Ak_n sin(k_n L)=0 \to k_n L=n \pi \to k_n=\frac{n \pi}{L}$$

$n=1, 2, ...$

De aquí se sacaría fácilmente $f_n$ y $\lambda_n$.

Exactamente igual que para una cuerda unida por los extremos.

[pod]

Re: Ecuación de onda

A mi me parece correcto. ¿Por qué esperabas que saliera diferente?

Una forma de razonarlo. El extremo libre significa que el extremo coincide con un vientre. Extremo sujeto significa que coincide con un nodo. La distancia entre dos vientres es proporcional a media longitud de onda... igual que la distancia entre dos nodos. Eso quiere decir que la longitud de la cuenta será un valor proporcional a media longitud de onda, en ambos casos.

Por cierto, sí que hay una diferencia: el nodo n=0. Con extremos fijos, sale automáticamente $X_0=0$ y eso se carga toda la función, dicho modo no existe. Con dos extremos libres, sale una componente espacial constante pero no nula, $X_0 \neq 0$, así que la parte temporal sigue existiendo como corresponde, y lo que tenemos es una cuerda que vibra recta, al unísono. Si lo piensas, es de sentido común que salga algo así.

Si quieres que te salga diferente, pon un extremo libre y el otro sujeto. En este caso, la distancia entre un nodo y un vientre consecutivo es de un cuarto de longitud de onda, así que la longitud de la cuerda sera igual a un cuarto de la longitud de onda más n veces media longitud.