Divulgación Fricción entre sólidos

[alexpglez]

Mi pregunta es, cómo se modela la fuerza de rozamiento entre dos sólidos en mecánica lagrangiana y hamiltoniana¿?
Sé que se puede describir cómo:
En dinámico:

$$\vert \vert \vec F_r \vert \vert=\mu \vert \vert \vec N \vert \vert$$

Y en estático:

$$\vec F_r = -\vec F^{(a)}$$

Pero no sabría cómo incluirla en la formulación lagrangiana...

Un saludo, gracias.

[pod]

Re: Fricción entre sólidos

Fíjate que, siendo la fricción una fuerza constante (mientras no haya cambios en dirección y sentido de la velocidad), uno puede estar tentado de aplicar la definición de potencial, y pasar a tener un potencial efectivo $\tilde V = V + F q$. Esto te daría las ecuaciones del movimiento correctas, aparentemente... El problema es que esto no describe completamente la fuerza de fricción correctamente, ya que no cambia de signo cuando lo hace la velocidad. Este "parche" nos serviría para movimientos en una dimensión que no cambian de sentido, pero por ejemplo no nos serviría para masa sujeta a un muelle sobre un pavimento.

El problema es que la fuerza de fricción en realidad es una función (del valor absoluto) de la velocidad, algo así como $F = - k \dot q / |\dot q|$. Y esto no lo podemos meter en lagrangiano porque no es derivable.

La forma tradicional de afrontar este problema es no poner las fuerzas disipativas en el Lagrangiano, sino ponerlo directamente como término inhomogéneo de las ecuaciones de Euler-Lagrange,

$$\frac\dd{\dd t}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q} - \frac{\partial \mathcal L}{\partial q} = F .$$

En algunos casos posible poner términos disipativos en el Lagrangiano. Por ejemplo, para una fuerza de fricción viscosa proporcional a la velocidad, $F=- \beta \dot q$ es fácil ver que el lagrangiano

$$\mathcal L = \eee{\beta t / m} \left[ \frac12 m \dot q^2 - V \right] .$$

[alexpglez]

Re: Fricción entre sólidos

Yo he leído que la fuerza de fricción es proporcional a la normal, y la normal es consecuencia de la ligadura de la fuerza con la superficie, en caso de ser plano es constante, pero no generalmente, por lo que si esto es así no se podrían aplicar las ecuaciones directamente... Con el último lagrangiano es verdad que se obtienen las ecuaciones de movimiento, pero para la energía disipada, no me cuadra..

[pod]

Re: Fricción entre sólidos

Yo he leído que la fuerza de fricción es proporcional a la normal, y la normal es consecuencia de la ligadura de la fuerza con la superficie,

Eso te da el módulo de la fuerza de fricción, pero no su dirección. Fíjate que si la fricción fuera una fuerza constante, entonces sería conservativa (el rotacional de una constante es cero), y todos sabemos que la fricción es de todo menos conservativa.

La fuerza de fricción dinámica tiene módulo constante (igual a un coeficiente multiplicado por la normal, efectivamente), misma dirección y sentido opuesto al vector velocidad. Esa dependencia con la velocidad, que además es no derivable, es lo que hace difícil meterla en el formalismo. Al final lo que uno tiene que hacer es tratarla como una función definida a trozos y hacer los cálculos para cada trozo (como en este problema, http://www.lawebdefisica.com/problemas/id45.php, aunque no está en el contexto de la mecánica teórica pero más o menos se tendría que hacer lo mismo).

en caso de ser plano es constante, pero no generalmente, por lo que si esto es así no se podrían aplicar las ecuaciones directamente...

Se puede extender el formalismo de la forma que mencionaba antes. En resumidas cuentas, se trata de separar las fuerzas en dos tipos: las conservativas van dentro del lagrangiano (a través del potencial), y el resto de fuerzas se añaden a las ecuaciones de Euler-Lagrange "a mano". La formulación es algo más complicada: se define una función de disipación, $\mathcal F$, y la fuerza generalizada (no conservativa) es igual a la derivada de esa función respecto $\dot q$:

$$\frac{\dd}{\dd t} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q} - \frac{\partial \mathcal L}{\partial q} + \frac{\partial\mathcal F}{\partial\dot q} = 0 .$$

Ahora que no nos escucha nadie, la fundamentación de la mecánica lagrangiana es un poco circular: básicamente, queremos fundamentar la mecánica a partir de principios variacionales porque eso nos da propiedades teóricas muy satisfactorias, y definimos el lagrangiano de la forma que nos salen bien las ecuaciones del movimiento y reproducimos las ecuaciones de Newton. Si nos quedamos en eso, no tenemos nada nuevo, sólo una forma más chula de poner lo mismo. Luego, a partir de principios y teoremas, vemos que hay unas condiciones que se suelen cumplir bajo las cuales el lagrangiano toma una forma muy sencilla, $\mathcal L = T - U$, con lo cual en aquellos sistemas que cumplen esas condiciones simplemente calculamos así el Lagrangiano sin pasar por las leyes de Newton.

Con el último lagrangiano es verdad que se obtienen las ecuaciones de movimiento, pero para la energía disipada, no me cuadra..

Si te refieres al de la fricción viscosa, ¿Cómo calculas la energía disipada? Fíjate que ese lagrangiano no cumple las condiciones para que el hamiltoniano sea la energía.

[alexpglez]

Re: Fricción entre sólidos

Si te refieres al de la fricción viscosa, ¿Cómo calculas la energía disipada? Fíjate que ese lagrangiano no cumple las condiciones para que el hamiltoniano sea la energía.

Si me refería a la lagrangiana que acabas de poner. Y cómo se puede saber matemáticamente que el hamiltoniano extraído de esa lagrangiana no sea la energía¿? Si no recuerdo mal la fórmula era:

$$\partial_t H=-\partial_t L$$

En lo demás me refería a que la fuerza normal para obtenerla de las ecuaciones de euler lagrange, creo que lo que haría sería comparar las ecuaciones obtenidas con las ecuaciones sin la ligadura para obtener así la normal o fuerza de ligadura. Entonces a partir de ahí calcular la fuerza de rozamiento, dependiente del signo de la velocidad y de la normal.