Otras carreras Símbolo delta minúscula

[alexpglez]

Estaba repasando el Principio de Hamilton, y lo único que no entendía era este símbolo y el significado de variación (asociado al delta).
He escuchado que representa una variación infinitesimal arbitraria, del espacio de configuraciones, con respecto a un máximo o mínimo de la función.¿? A ser sólo un incremento infinitesimal asociada a cada coordenada o velocidad generalizada, no tiene en cuenta por definición la variación los parámetros del sistema, el tiempo en uno discreto o el espacio-tiempo $x^{\mu}$ en uno continuo.¿?
Es decir, expresadas mis dudas en lenguaje matemático: si una función f se encuentra en un máximo o mínimo, significa que $\delta f=0$
Si f es una función $f(\dot q_n,q_n,t)$, \delta [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Y dado que las variaciones son infinitesimales, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] En donde [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , y por qué se escribe el $\delta q$ en vez de $dq$¿?

Un saludo, gracias por adelantado

PD: no sé como escribir varios límites debajo de la palabra lim.

[arivasm]

Re: Símbolo delta minúscula

Quizá lo que pongo a continuación no responde exactamente tu pregunta. De todos modos, trataré de aportar algo. Aclararé que lo haré desde una perspectiva de físico (lo digo porque alguna vez en el foro ha habido matemáticos que protestan por cómo usamos los físicos el concepto de diferencial).

El símbolo $\dd$ se reserva para referirse a magnitudes diferenciables, de manera que si se considera una evolución entre dos estados, A y B, el resultado de acumular las variaciones infinitesimales, es decir $\int_A^B \dd q$, será expresable mediante una diferencia $q_B-q_A$, que es independiente de la evolución particular seguida.

El símbolo $\delta$ suele emplearse para referirse a magnitudes que no necesariamente son diferenciables, de manera que $\int_A^B \delta q$ no será independiente de la evolución particular seguida para conectar los estados A y B.

[Weip]

Re: Símbolo delta minúscula

Sólo vengo a hacer un pequeño aporte para conectar con cosas que alexpglez sabe. El símbolo $\delta$ también se usa en otros contextos, por ejemplo cuando hablamos de trabajo $\delta W=\vec{F} \cdot d\vec{r}$ ya que la fuerza no tiene porqué ser conservativa, y esto es lo mismo que ha dicho arivasm pero en otros términos que seguramente ya conoces (una fuerza es conservativa cuando el trabajo solo depende de los puntos inicial y final). También se usa en termodinámica con el mismo propósito (supongo que alguna vez has oído sobre las funciones de estado).

Si quieres profundizar más, mira las diferenciales exactas. También te dejo este link que aunque menos completo, igual te puede ayudar (en este usan la $d$ de toda la vida pero es solo notación). El símbolo por el que preguntas se usa cuando la diferencial no tiene porqué ser exacta (igual sí o igual no, como en el ejemplo que te he puesto del trabajo, en que la fuerza puede ser conservativa o no).

[felmon38]

Re: Símbolo delta minúscula

Aparte de ls utilización del concepto de δ en el Principio de Hamilton, y en los que se señalan en el hilo, como variación infinitesimal arbitraria del argumento, su uso es fundamental en el teorema de los Trabajos Virtuales, en donde δ se aplica a las coordenadas generalizadas del sistema, pudiendo ser, estos desplazamientos diferenciales (virtuales), compatibles o no con las ligaduras o ecuaciones de restricción de las coordenadas.
Saludos

[alexpglez]

Re: Símbolo delta minúscula

Me sigue sin quedar claro, aunque lo que decís Arivasm y Weip creo que lo entiendo más o menos, con el ejemplo de trabajo. Y no Weip, no entiendo bien los links, supongo que debería leerme un buen texto introductorio antes a la geometría diferencial en espacios de cualquier dimensión.
Sobre los trabajos virtuales leí que eran: $\delta W=\vec F \cdot \delta \vec r$
Entiendo lo que decía Weip, ya que W no tiene por qué venir de un potencial, escribir dW sería sinónimo de decir que viene de una función W(r) y por tanto es diferenciable lo cual no ocurre para fuerzas conservativas.
Y no dr, ya que, según he leído que vienen definidos:

$$d \vec r=\sum_i \frac{\partial \vec r}{\partial q_i}dq_i+\frac{\partial \vec r}{\partial t}dt$$

$$\delta \vec r=\sum_i \frac{\partial \vec r}{\partial q_i}\delta q_i$$

Sin embargo esto sólo lo he leído en el Goldstein.. Será que Newtonianamente r sólo es función explícita de x, y y z y no del tiempo, no sé..¿?

Sobre el principio de Hamilton:

$$S=\int_1^2 L(\dot q_i, q, t) dt$$

Sea $q'_i$ la función que extremice la función S, y $q_i=q'_i+\epsilon n_i$ dónde $q_i(2)=q'_i(2) \;\;\; q_i(1)=q'_i(1)$ o lo que es lo mismo, $n_i(2)=n_i(1)=0$, y $\epsilon$ sea cualquier valor real.
Es decir que en $\epsilon=0$ la función S toma un extremo:

$$\frac{d S}{d \epsilon}\vert_{\epsilon=0}=0$$

$$\frac{d S}{d \epsilon}\vert_{\epsilon=0}=\int_1^2 (\sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i}\frac{d q_i}{d \epsilon}+\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\frac{d \dot q_i}{d \epsilon})\vert_{\epsilon=0}dt=\int_1^2 (\sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i}n_i+ \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\dot n_i)\vert_{\epsilon=0}dt=$$

$$\int_1^2 (\sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i}- \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i})n_i\vert_{\epsilon=0} dt=0 \;\;\;\; \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0$$

Ya que, consideramos las coordenadas independientes y en el primer miembro se ha hecho una integración por partes $u=\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \;\;\;\; dv=\dot n dt$:

$$\int_1^2\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\dot n_idt=\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}n_i \vert^2_1 - \int_1^2 \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} n_idt$$

Y dado que con las condiciones de que, $n(2)=n(1)=0$ El primer término se anula.

Ahora mis dudas es que, cambiaba de notación, definía:
$\delta S=\frac{d S}{d \epsilon}\vert_{\epsilon=0}d \epsilon \;\;\;\; \delta q_i=\frac{d q_i}{d \epsilon}\vert_{\epsilon=0}d \epsilon$
De tal forma que el principio cambiaba a:

$$\delta S=\int_1^2 (\sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\delta \dot q_i)dt= \int_1^2 (\sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i}- \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i})\delta q_i dt=0$$

Pero no acabo de ver el significado de $\delta$...
Me podéis explicar por qué en este ejemplo delta se define así, y la relación con el delta del trabajo virtual¿?
Gracias

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Me sigue sin quedar claro, aunque lo que decís Arivasm y Weip creo que lo entiendo más o menos, con el ejemplo de trabajo. Y no Weip, no entiendo bien los links, supongo que debería leerme un buen texto introductorio antes a la geometría diferencial en espacios de cualquier dimensión.
Sobre los trabajos virtuales leí que eran: $\delta W=\vec F \cdot \delta \vec r$
Entiendo lo que decía Weip, ya que W no tiene por qué venir de un potencial, escribir dW sería sinónimo de decir que viene de una función W(r) y por tanto es diferenciable lo cual no ocurre para fuerzas conservativas.
Y no dr, ya que, según he leído que vienen definidos:

$$d \vec r=\sum_i \frac{\partial \vec r}{\partial q_i}dq_i+\frac{\partial \vec r}{\partial t}dt$$

$$\delta \vec r=\sum_i \frac{\partial \vec r}{\partial q_i}\delta q_i$$

Sin embargo esto sólo lo he leído en el Goldstein.. Será que Newtonianamente r sólo es función explícita de x, y y z y no del tiempo, no sé..¿?

Sobre el principio de Hamilton:

$$S=\int_1^2 L(\dot q_i, q, t) dt$$

Sea $q'_i$ la función que extremice la función S, y $q_i=q'_i+\epsilon n_i$ dónde $q_i(2)=q'_i(2) \;\;\; q_i(1)=q'_i(1)$ o lo que es lo mismo, $n_i(2)=n_i(1)=0$, y $\epsilon$ sea cualquier valor real.
Es decir que en $\epsilon=0$ la función S toma un extremo:

$$\frac{d S}{d \epsilon}\vert_{\epsilon=0}=0$$

$$\frac{d S}{d \epsilon}\vert_{\epsilon=0}=\int_1^2 (\sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i}\frac{d q_i}{d \epsilon}+\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\frac{d \dot q_i}{d \epsilon})\vert_{\epsilon=0}dt=\int_1^2 (\sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i}n_i+ \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\dot n_i)\vert_{\epsilon=0}dt=$$

$$\int_1^2 (\sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i}- \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i})n_i\vert_{\epsilon=0} dt=0 \;\;\;\; \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0$$

Ya que, consideramos las coordenadas independientes y en el primer miembro se ha hecho una integración por partes $u=\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \;\;\;\; dv=\dot n dt$:

$$\int_1^2\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\dot n_idt=\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}n_i \vert^2_1 - \int_1^2 \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} n_idt$$

Y dado que con las condiciones de que, $n(2)=n(1)=0$ El primer término se anula.

Ahora mis dudas es que, cambiaba de notación, definía:
$\delta S=\frac{d S}{d \epsilon}\vert_{\epsilon=0}d \epsilon \;\;\;\; \delta q_i=\frac{d q_i}{d \epsilon}\vert_{\epsilon=0}d \epsilon$
De tal forma que el principio cambiaba a:

$$\delta S=\int_1^2 (\sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\delta \dot q_i)dt= \int_1^2 (\sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i}- \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i})\delta q_i dt=0$$

Pero no acabo de ver el significado de $\delta$...
Me podéis explicar por qué en este ejemplo delta se define así, y la relación con el delta del trabajo virtual¿?
Gracias

PD: también un comentario, también he visto otra operación no con mucho menos detalle, pero deduzco que tiene relación con lo de derivar con respecto a la derivada del parámetro que se hace en la demostración y es la derivada funcional.

$$\frac{\delta S}{\delta q_i}=\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}$$

También acabo de ver que así se puede definir la fuerza.

$$\frac{\delta W}{\delta q_i}=Q_i$$

[Weip]

Re: Símbolo delta minúscula

Ahora mis dudas es que, cambiaba de notación, definía:
$\delta S=\frac{d S}{d \epsilon}\vert_{\epsilon=0}d \epsilon \;\;\;\; \delta q_i=\frac{d q_i}{d \epsilon}\vert_{\epsilon=0}d \epsilon$

Me podéis explicar por qué en este ejemplo delta se define así, y la relación con el delta del trabajo virtual¿?

Ha aplicado la definición de diferencial. Piensa que $\delta$ denota un diferencial normal y corriente excepto por lo que hemos comentado antes. Si quieres te detallo todos los pasos aunque a la práctica nadie los pone todos. Por definición de $\delta S(\epsilon)$ en $\epsilon=0$:

$\delta S=S'(\epsilon)\epsilon$

Aquí he usado la notación de la prima para la derivada por hacer las cosas despacio. La derivada se evalúa en $\epsilon=0$ pero el $\epsilon$ de la derecha no, tenlo en cuenta. Seguimos. Fíjate que $d\epsilon=\epsilon$ ya que $\epsilon '(\epsilon)=1$. Podemos escribir:

$\delta S=S'(\epsilon)d\epsilon$

Ahora usando la otra notación para la derivada:

$\delta S=\dst\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} \epsilon }d\epsilon$

Donde la derivada se evalúa en $\epsilon=0$ ($d\epsilon$ no; prefiero aclararlo porque soy consciente de que puede parecer confuso).

Lo de los links era por si querías mirártelo por encima. No quería hablar de diferenciales exactas sin definirtelo. Al fin y al cabo en esos dos links está la respuesta a tu pregunta. Si sigues sin entenderlo, coge por definición la explicación que te ha dado arivasm (así es cómo lo explican los libros de termodinámica).

[alexpglez]

Re: Símbolo delta minúscula

Ha aplicado la definición de diferencial. Piensa que $\delta$ denota un diferencial normal y corriente excepto por lo que hemos comentado antes. Si quieres te detallo todos los pasos aunque a la práctica nadie los pone todos. Por definición de $\delta S(\epsilon)$ en $\epsilon=0$:

$\delta S=S'(\epsilon)\epsilon$

Aquí he usado la notación de la prima para la derivada por hacer las cosas despacio. La derivada se evalúa en $\epsilon=0$ pero el $\epsilon$ de la derecha no, tenlo en cuenta. Seguimos. Fíjate que $d\epsilon=\epsilon$ ya que $\epsilon '(\epsilon)=1$. Podemos escribir:

$\delta S=S'(\epsilon)d\epsilon$

Ahora usando la otra notación para la derivada:

$\delta S=\dst\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} \epsilon }d\epsilon$

Donde la derivada se evalúa en $\epsilon=0$ ($d\epsilon$ no; prefiero aclararlo porque soy consciente de que puede parecer confuso).

No me refería a eso, se lo que significa cada cosa matemáticamente, digo, por qué se define así¿? Desde mi punto de vista no encuentro una relación tan obvia entre esta definición y lo de que sea un diferencial inexacto, con lo que después he escrito de derivada funcional, etc. Para mí no es obvio, es eso lo que quiero entender y no entiendo, creo que no entendiste dónde estaba mi duda.

Lo de los links era por si querías mirártelo por encima. No quería hablar de diferenciales exactas sin definirtelo. Al fin y al cabo en esos dos links está la respuesta a tu pregunta. Si sigues sin entenderlo, coge por definición la explicación que te ha dado arivasm (así es cómo lo explican los libros de termodinámica).

No, creo que entiendo, al menos en el contexto de integral curvilínea. Para que una integral no dependa de la trayectoria de integración,

$$W=\oint \vec F \cdot d \vec r=\iint \nabla \times \vec F d \vec S=0 \;\;\; \rightarrow \;\;\; \nabla V=\vec F \rightarrow W=\int \nabla V \cdot d \vec r=\Delta V$$

Y por tanto entiendo que en este caso W sólo puede ser diferencial exacto si proviene de la fuerza asociada a él proviene de un gradiente, en caso contrario no puede ser diferencial exacto. Y por lo que veo la derivada funcional se relaciona con la derivada parcial en que la derivada funcional vale para casos en los que la fuerza no es conservativo.

$$\frac{\delta W}{\delta q_i}=Q_i$$

Si la fuerza es conservativa:

$$\frac{\partial W}{\partial q_i}=Q_i$$

Lo que no entiendo es la jerga de geometría diferencial en el que habla el link, ya que sólo he visto por encima, el producto exterior entre dos vectores que da un tensor de orden 2 para por ejemplo definir el momento angular, y la derivada exterior, un rotacional que en vez de reentringirse para 3 dimensiones, forma otro tensor de orden 2 (si se aplica a un vector) para lo cual por ejemplo se define el tensor electromagnético... No sé más... conceptos de 1-forma, n_forma, ya no sé...