2o ciclo Principio de mínima acción

[Castelao]

Hola,

Supongamos que tenemos una partícula que con energía cinética $T=\frac{1}{2}m\dot{x}^2$ y sobre la que no actúa ninguna fuerza, de forma que $L=T$. Ahora apliquemos el principio de mínima acción a trayectorias parametrizadas de la siguiente forma $x(\eta)=\eta t$.

La integral de acción nos queda $S=\frac{1}{2}m\int_{t_1}^{t_2} \eta^2 dt$, y si integramos obtenemos: $S=\frac{1}{2}m\eta^2 \Delta t$, y haciendo $\frac{\partial S}{\partial \eta}=0$, obtenemos que $\eta=0$.

Esto tiene perfecta lógica, que el móvil tenga velocidad cero es lo que minimiza la trayectoria; pero, si bien las ecuaciones de Euler-Lagrange y de Newton (que pueden deducirse de este principio) nos llevan a que también es posible una trayectoria en la que $\eta=cte$, ¿por qué este método variacional no nos conduce a lo mismo directamente?.

[alexpglez]

Re: Principio de mínima acción

Pues me pillas ahora mismo. Pero el principio de mínima acción es la derivada funcional de la acción con respecto a las coordenadas generalizadas =0, ahora mismo estás derivando parcialmente con respecto a la velocidad.
Y también la acción habría que especificarla no con las constantes de trayectoria si no con los puntos final e inicial:

$$S=\frac{1}{2}m\frac{(x_2-x_1)^2}{t_2-t_1}$$

Y ya a partir de aquí no se como hacer la derivada funcional de esto... Bueno, he dado estos matices, pero no sé, quizá da 0 la derivada¿?..... espero también ansioso la respuesta!

[felmon38]

Re: Principio de mínima acción

Castelao, si dices que no actúan fuerzas, no puedes imponer la restricción de la trayectoria que tiene que seguir porque esta saldrá al aplicar el princio de Hamilton. En efecto, al aplicar la ecuación de Lagrange, sale la solución a=0, que admite v=0.
Saludos

[pod]

Re: Principio de mínima acción

Es lo que dice felmon: el principio de mínima acción (o las ec. de Euler-Lagrange que se deducen de él) te permiten determinar la dependencia funcional de la posición con el tiempo. No puedes imponer la dependencia funcional a mano como estás haciendo.

Básicamente, lo que estás haciendo es equivalente a plantear la ecuación $x^2 + x + 1 = 0$ y decir que pruebas soluciones del estilo x= 2.

[Everett IV]

Re: Principio de mínima acción

Estás diferenciando con respecto a las velocidades, pero no con respecto a los caminos que siguen la trayectoria. La ecuación diferencial a la que lleva el que la acción sea mínima es la ec. de Euler-Lagrange, y no , la acción es una variable de las distintas opciones de llegar del punto inicial al final en los tiempos inicial y final, es una función "del camino", considerando el camino diferente aunque la trayectoria sea la misma si aunque la trayectoria sea la misma, las velocidades son diferentes.

[Castelao]

Re: Principio de mínima acción

Entiendo lo que decís, pero sí es posible introducir trayectorias de prueba en el funcional para hallar los parámetros que queramos. Por ejemplo, si yo quiero estudiar el comportamiento del péndulo simple, cuya ecuación diferencial es no lineal, sin aproximar a ángulos pequeños, puedo sugerir una solución de la forma $x(t)=a_1sin(\omega t)$ y obtendré una vez hecha la integral y derivando parcialmente respecto a $a_1$ una posible corrección en frecuencia respecto al caso lineal en función de $a_1$. De idéntica forma, si considerase un cuerpo en caída libre y supusiese trayectorias del tipo $z(t)=1/2 gt^{\alpha}$, encontraría que el parámetro $\alpha$ es igual a $2$, como era de esperar. Mi pregunta es por qué en este caso no funciona.

[felmon38]

Re: Principio de mínima acción

Pues si entiendes lo que te dice Everett no se por que sigues derivando respecto de la velocidad.
Saludos

[Everett IV]

Re: Principio de mínima acción

Es habitual tomar como principio el de acción minima (sería más correcto llamarlo estacionaria porque en casos raros es la máxima acción), lo que importa es que en la derivada funcional (con respecto a todos los caminos sea 0), y si ponemos eso llegamos a la ecuación de Euler-Lagrange, que al resolver problema se suele partir de ella, es mucho más sencillo que buscar las leyes de Newton buscar las ligaduras que hay que poner a la ecuación de Euler-Lagrange, y mucho más sencillo que buscar la trayectoria partiendo del principio de acción estacionaria, salvo por razones didácticas o casos muy raros, se parte de la ec. de Euler-Lagrange, que es conscuencia lógica del principio de acción estacionaria. Está demostrado todo esto en https://books.google.es/books?id=Mpb...fisica&f=false. También hay una explicación breve en Wikipedia https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci...Euler-Lagrange En la Wikipedia dice que es un mínimo pero hay cosas que son máximos, no importa, porque al hacer la derivada funcional (es decir, la derivada sobre los caminos), imponemos que es 0, luego, como en las derivadas simples, si la derivada es 0 hay un extremo relativo o un punto de inflexión, aunque creo que el caso de la inflexión caso no se da nunca, no estoy seguro de esto último