2o ciclo Coordenadas lagrangianas

[escarabajo]

Hola..

Estoy algo trancado con el siguiente problema, a ver si alguien me puede dar alguna sugerencia.

Dos puntos materiales A y B están obligados a moverse sobre una circunferencia de centro fijo y radio que crece linealmente con el tiempo. La distancia AB es constante y vale d. Observe que el sistema es holónomo, determine el grado de libertad, y hallar desplazamientos reales y virtuales mediante el uso de coordenadas langrangeanas adecuadas.

En primer lugar, no sé si determiné bien el grado de libertad. Para mi es 2.
Para determinar A y B se necesitan 4 coordenadas(las cartesianas), pero se tienen 2 vínculos, la distancia AB constante, y el hecho de que están siempre ligadas a la circunferencia, por lo tanto necesitaría 2 coordenadas.

Ahora, no veo cómo sacar las coordenadas. Por ejemplo, puedo elegir un ángulo que me ubique uno de los dos puntos, luego, con la distancia d constante bastaria encontrar un punto de la circunferencia que esté a la distancia d del punto(pero esto daría 2 soluciones posibles).

Se agradece cualquier aporte.

Saludos.

[Adosgel]

Re: Coordenadas langrangeanas

Hay una relacción directamente proporcional entre "r" y el ángulo que forman en A o en B, "r" y "d". Este ángulo tiende a 90º cuando "r" tiende a infinito.

[pod]

Re: Coordenadas langrangeanas

Hola..

Estoy algo trancado con el siguiente problema, a ver si alguien me puede dar alguna sugerencia.

Dos puntos materiales A y B están obligados a moverse sobre una circunferencia de centro fijo y radio que crece linealmente con el tiempo. La distancia AB es constante y vale d. Observe que el sistema es holónomo, determine el grado de libertad, y hallar desplazamientos reales y virtuales mediante el uso de coordenadas langrangeanas adecuadas.

En primer lugar, no sé si determiné bien el grado de libertad. Para mi es 2.
Para determinar A y B se necesitan 4 coordenadas(las cartesianas), pero se tienen 2 vínculos, la distancia AB constante, y el hecho de que están siempre ligadas a la circunferencia, por lo tanto necesitaría 2 coordenadas.

Tienes que aplicar la ligadura de "estar sobre la circunferencia" a cada una de las dos masas. Así que, en total, tienes tres ligaduras y un sólo grado de libertad.

Ahora, no veo cómo sacar las coordenadas. Por ejemplo, puedo elegir un ángulo que me ubique uno de los dos puntos, luego, con la distancia d constante bastaria encontrar un punto de la circunferencia que esté a la distancia d del punto(pero esto daría 2 soluciones posibles).

No daría dos soluciones. Como ambas masas están sobre una trayectoria de una única dimensión, no pueden "adelantarse" la una a la otra. Así que, por ejemplo, a partir de "A" siempre tenemos que recorrer la circunferencia en sentido horario para encontrar "B" (por el camino más corto, se entiende).

Hay una relacción directamente proporcional entre "r" y el ángulo que forman en A o en B, "r" y "d". Este ángulo tiende a 90º cuando "r" tiende a infinito.

Más bien, el ángulo que forman tiende a cero cuando el radio tiende a infinito. Es más, si mi trigonometría no está muy oxidada, diría que el ángulo que forman no es más que

$$\sin\frac\theta2 = \frac{d}{2r}\ .$$

[Entro]

Re: Coordenadas langrangeanas

Lo del seno esta guay... pero supongo que aquí estas suponiendo un arco pequeño en el límite que el seno tiende al angulo...

[Fastolfe]

Re: Coordenadas langrangeanas

Hola, con respecto al

$\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)=\dfrac{d}{2r}$

no estoy de acuerdo, ya que seria valida para ángulos pequeños, mas bien yo creo que la relación seria:

$$r\cdot\theta=d$$

.

Siendo $d$ constante, proporcionando una relación entre el radio y el ángulo que comprende esta porción de arco.

[pod]

Re: Coordenadas langrangeanas

Pues que yo sepa, las distancias se miden en línea recta, no siguiendo el arco de la circunferencia. Quien no lo vea claro:

El seno es el cateto opuesto entre la hipotenusa...

[Jose D. Escobedo]

Re: Coordenadas langrangeanas

Hola, con respecto al $sen\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{d}{2r}$ no estoy de acuerdo, ya que seria valida para ángulos pequeños, mas bien yo creo que la relación seria:

$$r\cdot\theta=d$$

.
Siendo $d$ constante, proporcionando una relación entre el radio y el ángulo que comprende esta porción de arco.

Yo por el contrario diria que $r = d \theta$ es para angulos pequenos; porque $\sin t \sim t$.

Ahora, si se toma $\vec r_1$ y $\vec r_2$ como los vectores posicionales para cada particula entonces se tiene que:

$\vec r_1 - \vec r_2 = \vec d \Rightarrow$

$(\vec r_1 -\vec r_2) \cdot (\vec r_1 - \vec r_2) = \vec d \cdot \vec d \Rightarrow$

$r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos \theta = d^2$ pero como $\left |\vec r_1 \right | = \left |\vec r_2 \right |= r \Rightarrow$

$2r^2 (1-\cos \theta) = d^2$ y tambien teniendo en cuenta que: $\sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} -\frac{1}{2} \cos{\theta} \Rightarrow$

$4r^2 \sin^2 \frac{\theta}{2} = d^2 \Rightarrow$

$\sin (\frac{\theta}{2}) = \frac{d}{2r}$ como pod sugiri$\'o$.

Yo lo que me cuesta trabajo es visualizar las tres ligaduras y el unico grado de libertad?

[escarabajo]

Re: Coordenadas langrangeanas

Hola

Yo lo que me cuesta trabajo es visualizar las tres ligaduras y el unico grado de libertad?

Claro, tiene razón Pod. A mi en parte, cuando me puse en la práctica a intentar escribir las posiciones de A y B....me parecía que con determinar uno de los puntos bastaba.

Tenémos que tanto A y B están condicionadas a la ecuación de la circunferencia. Esta condición, da una relación entre las coordenadas x e y, de cada uno de los puntos. Ahí estarías bajando 2 grados...es decir, si especificaras x o y, de cada punto, el solo hecho de que estén restringidas a moverse en la circunferencia te permitiría dar exactamente la posición de ambos puntos.

Pero, también tenémos que la distancia entre ambos puntos es constante, por lo que ahí vamos a obtener una 3er ecuación, que relaciona las coordenadas. Nos baja un grado más de libertad, basta entonces una coordenada.

Más en general, cuando se tienen esta clase de vínculos(holónomos), cada vínculo baja un grado de libertad.


Saludos.

[escarabajo]

Re: Coordenadas langrangeanas

Hola..

Bueno, a ver si no me equivoqué en nada.(en el dibujo se ve qué angulos y versores tomé)

Posición de B:

$\vec{r_B}=r\hat{u}$

Posición de A:

$\vec{r_A}=\vec{r_B}+d(-\cos \phi \hat{u}+sin \phi \hat{v})$

Con un poco de trigonometria

$\displaystyle \cos \phi=\frac{d}{2r}$

$\displaystyle \sin \phi =\sqrt{1-\frac{d^2}{4r^2}}$

Y estaría pronto para diferenciar. ¿algún error?

Agradezco cualquier comentario.

Saludos.

[Jose D. Escobedo]

Re: Coordenadas langrangeanas

Hola



Ahí estarías bajando 2 grados...es decir, si especificaras x o y, de cada punto, el solo hecho de que estén restringidas a moverse en la circunferencia.... Nos baja un grado más de libertad, basta entonces una coordenada.

Más en general, cuando se tienen esta clase de vínculos(holónomos), cada vínculo baja un grado de libertad.


Saludos.

Entonces tres ligaduras $\'o$ tres grados de libertad.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ligaduras (constrains) = grados de libertad (degrees of reedom) ?

[pod]

Re: Coordenadas langrangeanas

Hola..

Bueno, a ver si no me equivoqué en nada.(en el dibujo se ve qué angulos y versores tomé)

Posición de B:

$\vec{r_B}=r\hat{u}$

Posición de A:

$\vec{r_A}=\vec{r_B}+d(-\cos \phi \hat{u}+sin \phi \hat{v})$

Con un poco de trigonometria

$\displaystyle \cos \phi=\frac{d}{2r}$

$\displaystyle \sin \phi =\sqrt{1-\frac{d^2}{4r^2}}$

Y estaría pronto para diferenciar. ¿algún error?

Agradezco cualquier comentario.

Saludos.

Diría que debes intercambiar senos con cosenos. Compara con la fórmula de mi otro mensaje.

¿Qué coordenada has elegido exactamente? Yo elegiría el ángulo de la masa A, $\theta_A$. Entonces, las coordenadas cartesianas de ambas masas pasarían a ser:

$$\begin{aligned}<br /> x_A & = r(t) \cos\theta_A \ , \\<br /> y_A & = r(t) \sin\theta_A \ , \\<br /> x_B & = r(t) \cos(\theta_A+\phi) \ , \\<br /> y_B & = r(t) \sin(\theta_A+\phi) \ .<br /> \end{aligned}$$

donde

$$\phi = 2 \arcsin \dfrac{d}{2r}\ .$$

NOTA: el signo relativo de los ángulos en las ecuaciones de B pueden ser diferentes según que masa pongas "delante", claro.

Entonces tres ligaduras $\'o$ tres grados de libertad.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ligaduras (constrains) = grados de libertad (degrees of reedom) ?

Cada ligadura elimina un grado de libertad. En principio, dos masas en 2d tendrían 4 grados de libertad. Como hay tres ligaduras (1.- A está sobre la circunferencia; 2.- B está sobre la circunferencia; 3.- la distancia entre A y B es fija), entonces sólo hay una coordenada lagrangiana.

[escarabajo]

Re: Coordenadas langrangeanas

Hola..

Mmm...no te sigo. Te detallo un poco más lo que sé del tema a ver si ayuda, ...pero probablemente la duda te la saque algún experto.

Ligaduras=vínculos=condiciones que se imponen al movimiento de un sistema.

No es lo mismo que uno diga...tal partícula se mueve libremente en el espacio que decir se mueve sobre la curva tal.
En el primer caso, uno tiene 3 grados de libertad. Hay que dar las 3 componentes cartesianas para ubicar tal partícula...dado que no hay más información de su movimiento.
En el segundo caso, tenémos un vínculo o ligadura, es decir, sabemos que la particula se mueve por una determinada curva(que en el espacio se puede determinar paramétricamente, con 2 parámetros). Por lo tanto, basta dar esos dos parámetros y sabemos su posición. Y por tanto en este caso, se tiene 1 vínculo, lo cual hace que el grado de libertad sea 2.

Por lo que tengo visto hasta el momento, los vínculos que se pueden escribir $f(q_1,q_2...q_n,t)=0$, donde $q_i$ son las coordenadas, se dicen holónomos, y estos quitan(cada uno de ellos) una incógnita al problema.

En este caso, dado que A y B pertenecen a una circunferencia en todo instante, puede escribirse:

$x_A^2+y_A^2-r^2=0$

$x_B^2+y_B^2-r^2=0$

Y ahí se tiene esa función f.

Con un poco más de trabajo se puede encontrar una para el vínculo de d constante.

Son 3 vínculos en total, lo cual deja al sistema con un grado de libertad.

Saludos.

[escarabajo]

Re: Coordenadas langrangeanas

¿Qué coordenada has elegido exactamente?

Elegí la coordenada $\theta$, ubicando B, y de ahí ubico A.

Pero....jeje, veo que me compliqué al santo botón. Mejor tomar el ángulo al origen del triangulo isósceles, como hiciste tu,....más facil.

Yo agarré para los vectores....mala costumbre de mecánica newtoniana.

Saludos.

[Jose D. Escobedo]

Re: Coordenadas langrangeanas

Cada ligadura elimina un grado de libertad. En principio, dos masas en 2d tendrían 4 grados de libertad. Como hay tres ligaduras (1.- A está sobre la circunferencia; 2.- B está sobre la circunferencia; 3.- la distancia entre A y B es fija), entonces sólo hay una coordenada lagrangiana.

Muchas gracias pod. Tenia mis dudas; porque como radio aumentaba (de acuerdo con este problema) me confundi al pensar que la circunferencia no estaba fija en relacion de un punto material al otro, y que por lo tanto no tenian relacion.