1r ciclo Igualdades en coordenadas generalizadas

[Alofre]

Buenas, estaba leyendo sobre el procedimiento para deducir las ecuaciones de Euler-Lagrange a partir del principio de D´Alembert. El caso es que hay una igualdad que no tengo muy claro como se demuestra:
1) $\displaystyle \frac{\partial \mathbf{\dot{r}_i}}{\partial \dot{q}_j}$ = $\displaystyle \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j}$.
Usando la regla de la cadena para funciones de varias variables:
$\displaystyle \frac{\partial \dot{\boldsymbol{r}}_{i}}{\partial \dot{q}_{j}}=\frac{\partial}{\partial \dot{q}_{j}}\left[\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{k}} \dot{q}_{k}+\frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial t}\right]=\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{k}} \delta_{k j}=\frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{j}}$
y no tengo nada nada claro que ocurre en la penúltima igualdad.

Agradecería si alguien me lo pudiese explicar. Muchas gracias por adelantado!!

[Alriga]

Buenas, estaba leyendo sobre el procedimiento para deducir las ecuaciones de Euler-Lagrange a partir del principio de D´Alembert. El caso es que hay una igualdad que no tengo muy claro como se demuestra:

1) $\dst \frac{\partial \mathbf{\dot{r}_i}}{\partial \dot{q}_j}$ = $\dst \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j}$.

Usando la regla de la cadena para funciones de varias variables:

$\dst \frac{\partial \dot{\boldsymbol{r}}_{i}}{\partial \dot{q}_{j}}=\frac{\partial}{\partial \dot{q}_{j}}\left[\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{k}} \dot{q}_{k}+\frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial t}\right]=\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{k}} \delta_{k j}=\frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{j}}$

y no tengo nada nada claro que ocurre en la penúltima igualdad.

Agradecería si alguien me lo pudiese explicar. Muchas gracias por adelantado!!

Alofre, recuerda que si pones \dst o bien \displaystyle al principio de la expresión en LaTeX se ve mucho mejor.

Saludos.

[Alofre]

Ok, ya lo cambié jeje. Muchas gracias!

[sater]

Buenas Alofre.

Mira este hilo (en concreto el mensaje 2).

Un saludo.

[Alofre]

Mmm pues la verdad sigo sin entenderlo (no he visto la relación entre lo del hilo con lo que pregunto).
Perdón :-(

[sater]

Mmm pues la verdad sigo sin entenderlo (no he visto la relación entre lo del hilo con lo que pregunto).
Perdón :-(

Ups, lei última igualdad, lo siento.

En la penúltima, introduce en el sumatorio la derivada parcial. Al ser parcial, solo afecta al primer término (en concreto a $\dot{q}_k$). Y es sencillo ver que

$$<br /> \dfrac{\partial\dot{q}_k}{\partial\dot{q}_j}=\delta_{jk}<br />$$

pues dicha derivada será no nula únicamente cuando ambas coordeandas generalizadas coincidan (sus índices coincidan), y la delta de kronecker sintetiza esa afirmación.

[Alofre]

Ahhh ya entiendo. Vale, estupendo muchísimas gracias!!