1r ciclo aceleración tangencial y normal.

[jssln]

Buenas resolviendo este ejercicio me he encontrado un problema a la hora de calcular la aceleración tangencial y normal, porque no se aplicar la formula, ¿Me podríais ayudar?

Considerando la trayectoria de un móvil $\vec{r}(t) = (t, \frac{{t}^{2 }}{2 },\frac{{t}^{ 3}}{ 3})$. En el instante $t=1$ obtener:

B. La aceleración y sus componentes tangencial y normal.

Yo he calculado la aceleración que me sale $\vec{a} = (0,1,2)$

pero me dice que el resultado de $\vec{{a}_{ \tau}} = (1,1,1) y el de \vec{{a}_{n }}= (-1,0,1)$ y no consigo sacarlos.

Gracias por la ayuda.

[alexpglez]

Re: aceleración tangencial y normal.

La aceleración normal se define (eso creo), como perpendicular a la velocidad, y la tangencial como tangente a la trayectoria o sea del mismo sentido que la velocidad. Esto se consigue escribiendo la velocidad como su módulo por un vectorcillo unitario.

$$\vec v=v \hat v$$

$$\frac{d \vec v}{dt}=\vec a=\frac{dv}{dt}\hat v+v\frac{dv}{dt}$$

Entonces tienes que:

$$\vec a_t=\frac{dv}{dt}\hat v$$

Y:

$$\vec a_n=v\frac{d\hat v}{dt}$$

Pero no estoy seguro, así que por si acaso espera a otra respuesta si no te sale, (lo voy a comprobar mientras).

Si que es así, lo acabo de comprobar que me da. Lo único que hice mal los cálculos la primera vez, por eso tardo en responder.

[The Higgs Particle]

Re: aceleración tangencial y normal.

$\vec{v} = v \hat{u_T} \to \vec{a} = \dst \frac{\dd \vec{v}}{\dd t } = \dst \frac{\dd v}{\dd t} \hat{u_T} + \dst \frac{\dd \vec{u_T}}{\dd t } v$ (1)

La cosa está en que la derivada de un vector unitario es un vector también unitario pero perpendicular al mismo. Por ello, $\dd \vec{u_T} = u_T \vec{u_N}$ (pues como ya explicó Alex, el vector normal es perpendicular al tangencial). Esto se demuestra así:

Sea un vector unitario:

$|\hat{k}| = 1 \to \hat{k} \cdot \hat{k} = 1$

Entonces:

$\dst \dd (\hat{k} \cdot \hat{k}) = 2 \hat{k} \dd \hat{k} = 0 \to \dd (\hat{k}) \hat{k} = 0 \to \hat{k}$ es perpendicular a $\dd \hat{k}$

En cualquier caso, tenemos:

$\dst \frac{\dd \vec{u_T}}{\dd t } = \dst \frac{\dd \phi}{\dd t}$

Donde $\dd \phi$ es el ángulo recorrido (ya que $\dd u_T = 1 \cdot \dd \phi$), y como, al mismo tiempo, $\dd s = R \dd \phi \to \dd \phi = \dst \frac{ds}{R}$ ($ds$ es el arco de la circunferencia de radio $R$ recorrido), por lo que:

$\dst \frac{\dd \vec{u_T}}{\dd t } = \dst \frac{1}{R} \frac{\dd s}{\dd t} = \dst \frac{1}{R} v$

Que, insertando en (1), nos sale:

$\boxed{\vec{a} = \dst \frac{\dd v}{\dd t} \vec{u_T} + \dst \frac{v^2}{R } \vec{u_N}}$

[alexpglez]

Re: aceleración tangencial y normal.

Si no también tienes otro modode calcularlo, como $\vec a_t$ es paralelo a la velocidad y $\vec a_n$ perpendicular:

$$\vec a \cdot \vec v=\vec a_n \cdot \vec v+ \vec a_t \cdot \vec v=a_t v \;\;\; a_t=\frac{\vec a \cdot \vec v}{v}$$

Pero si $\vec a_t$ es paraleloa la velocidad:

$$\vec a_t=a_t\frac{\vec v}{v}=\frac{\vec a \cdot \vec v}{v^2}\vec v$$

Y así:

$$\vec a_n=\vec a-\vec a_t=\vec a-\frac{\vec a \cdot \vec v}{v^2}\vec v$$

Se puede demostrar fácilmente que estos dos modos de calcularlo son equivalentes.

[Weip]

Re: aceleración tangencial y normal.

Por ahora vas por buen camino. Tal como han dicho por arriba el módulo de la aceleración tangencial es $\dst\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}$. El modulo de la velocidad es $v=\dst\sqrt{1+t^2+t^4}$, derivandolo respecto el tiempo obtendrás ese módulo. Luego tienes que calcular $\vec{u_t}=\dst\frac{\vec{v}}{v}$. Finalmente haz la multiplicación $\dst\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}\vec{u_t}$ y evalúa en $t=1s$. obtendrás el $(1,1,1)$ de tu solucionario.

Para la aceleración normal usa que $\vec{a}=\vec{a_t}+\vec{a_n}$. Pasa la aceleración tangencial restando y ya está: $(0,1,2)-(1,1,1)=(-1,0,1)$.

PD: Hemos escrito todos casi a la vez pero bueno, así tienes más procedimientos. Ahora solo te queda seguir los cálculos, a mí me ha salido las soluciones que te dan, si no te salen dínoslo y los miramos con detalle.

[alexpglez]

Re: aceleración tangencial y normal.

Donde $\dd \phi$ es el ángulo recorrido (ya que $\dd u_T = 1 \cdot \dd \phi$), y como, al mismo tiempo, $\dd s = R \dd \phi \to \dd \phi = \dst \frac{ds}{R}$ ($ds$ es el arco de la circunferencia de radio $R$ recorrido), por lo que:

$\dst \frac{\dd \vec{u_T}}{\dd t } = \dst \frac{1}{R} \frac{\dd s}{\dd t} = \dst \frac{1}{R} v$

Que, insertando en (1), nos sale:

$\boxed{\vec{a} = \dst \frac{\dd v}{\dd t} \vec{u_T} + \dst \frac{v^2}{R } \vec{u_N}}$

Creo que es incorrecto, porque la trayectoria no corresponde a un movimiento circular. En todo caso, aunque valiese tal fórmula, el radio no sé cómo estaría definido, ¿al centro de coordenadas, es decir, el radio es 7/6 (el resultado que arroja es incorrecto)?

[Alriga]

Re: aceleración tangencial y normal.

Donde $\dd \phi$ es el ángulo recorrido (ya que $\dd u_T = 1 \cdot \dd \phi$), y como, al mismo tiempo, $\dd s = R \dd \phi \to \dd \phi = \dst \frac{ds}{R}$ ($ds$ es el arco de la circunferencia de radio $R$ recorrido), por lo que:

$\dst \frac{\dd \vec{u_T}}{\dd t } = \dst \frac{1}{R} \frac{\dd s}{\dd t} = \dst \frac{1}{R} v$

Que, insertando en (1), nos sale:

$\boxed{\vec{a} = \dst \frac{\dd v}{\dd t} \vec{u_T} + \dst \frac{v^2}{R } \vec{u_N}}$

Creo que es incorrecto, porque la trayectoria no corresponde a un movimiento circular. En todo caso, aunque valiese tal fórmula, el radio no sé cómo estaría definido, ¿al centro de coordenadas, es decir, el radio es 7/6 (el resultado que arroja es incorrecto)?

No alex, no es incorrecto, la expresión es general para cualquier curva, siendo R el Radio de Curvatura en el punto considerado.

Saludos

[The Higgs Particle]

Re: aceleración tangencial y normal.

El radio de curvatura de una línea curva o un objeto aproximable mediante una curva es una magnitud geométrica que puede definirse en cada punto de la misma y que coincide con el inverso del valor absoluto de la curvatura en cada punto:

$R_c(s) = \dst \frac{1}{\chi (s)}$

La forma más rápida es la que dice Weip, calculando $\dst \frac{\dd v}{\dd t}$ y $\vec{u_T}$, por lo que, en cualquier caso, prescindiríamos de $R$, sabiendo que $\vec a = \vec{a_T} + \vec{a_N}$