Trayectoria vuelo avión

[victormgf]

Buenas.

En el siguiente problema me cuesta encontrar el lagrangiano del sistema.

"Un avión vuela desde el punto (−a, 0) al punto (a,0) en el plano (x, z), siendo z = 0 el nivel del suelo y apuntando el eje z en la dirección vertical hacia arriba. El coste por unidad de distancia de vuelo es función de la altura, exp(−kz), siendo k una constante positiva. Calcule la trayectoria que minimiza el coste del vuelo. [Suponga que (ka < pi/2)]."

[Alriga]

Hola victormgf , bienvenido a La web de Física, por favor como miembro reciente lee atentamente Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

El ejercicio me parece muy bonito, pero supera mis conocimientos, creo que aquí se necesita algún físico

Lo que sí se me ocurre para intentar ayudarte es como creo que debe ser la función coste. Si la trayectoria que buscamos, que es una curva plana, la parametrizamos como $z=z(x)$ el elemento de longitud diferencial será:

$dl=\sqrt{(dx)^2+(dz)^2} =\sqrt{1+\left ( \dfrac{\dd z}{\dd x}\right )^2} \ \dd x$

Entonces la función "coste" Q(z) a minimizar será:

$\dst Q(z)=\int_{-a}^a \ee^{-k z} \sqrt{1+\left ( \dfrac{\dd z}{\dd x}\right )^2} \ \dd x$

Pero a partir de aquí no se me ocurre como seguir.

Espero haber ayudado algo, saludos.

[victormgf]

Yo he pensado lo mismo. Intento usar como lagrangiano lo que hay dentro de la integral, y aplico la ecuación de Euler-Lagrange, pero no me da lo que debería. La solución es (z')²=(1/c²)e^-2kz-1

[Alriga]

... Intento usar como lagrangiano lo que hay dentro de la integral, y aplico la ecuación de Euler-Lagrange, ...

Según creo entender, tú dices:

$\mathcal L=\ee^{-k z} \sqrt{1+\left ( \dfrac{\dd z}{\dd x}\right )^2}$

$\mathcal L=\ee^{-k z} \sqrt{1+(z')^2}$

Entiendo que para aplicar la ecuación de Euler-Lagrange a partir de aquí hay que calcular:

$$\dfrac{\partial \mathcal L}{\partial z}=-k \ee^{-k z} \sqrt{1+(z')^2}$$

$$\dfrac{\partial \mathcal L}{\partial z'}=\dfrac{\ee^{-k z} z'}{ \sqrt{1+(z')^2}}$$

Y ahora según tú ¿qué es lo que se debería hacer? ¿Derivar la ecuación (2) respecto de x? ¿Es decir hacer?

¿¿ $\quad \dfrac{\dd}{\dd x}\left ( \dfrac{\ee^{-k z} z'}{ \sqrt{1+(z')^2}}\right )$ ??

¿Qué te da esta derivada? ¿Te da?:

$\dfrac{\dd}{\dd x} \left ( \dfrac{\partial \mathcal L}{\partial z'} \right )=\dfrac{\ee^{-k z} \big (z'' - k (z')^2-k (z')^4 \big )}{\sqrt{\big (1+(z')^2 \big )^3}}$

Saludos.

[Richard R Richard]

Estuve pensando largo y tendido, pero sin una idea de que tipo de función podemos usar , poco podemos argumentar.

si el argumento entre parentesis de la integral

$\dst Q(z)=\int_{-a}^a \left(\ee^{-k z} \sqrt{1+\left ( \dfrac{\dd z}{\dd x}\right )^2} \right)\ \dd x$

fuese una constante, entonces la integral tendría resultado nulo para ello. Edito veo que no, solo sucedería la nulidad si las areas de la curvas por encima y por debajo deben tener areas iguales. mI idea fracasa porque tanto la raiz xcomo la exponencial son positivas para todo x.

hacemos $C=\ee^{-k z} \sqrt{1+\left ( \dfrac{\dd z}{\dd x}\right )^2}$

y tratemos de resolverla ED y hallar z(x)

$\sqrt{C^2\ee^{2kz}-1}= \dfrac{\dd z}{\dd x}$

de lo que se obtiene

$z(x) = -log(e^{(c_1 + x)} + 1)$ ,

pero como es absolutamente decreciente no representa una trayectoria que asciende y desciende. Quiza jugando con los signos,una parte ascendiendo con x negativas y descendiendo con positivas, pero ahora no me doy cuenta ...

por otro lado existen otras trayectorias que puedes probar es una en forma trapezoidal , ascenso recto, intermedio a altura constante y descenso recto nuevamente, versus una parabólica como

$z(x)=(x+a)(x-a)=x^2-a^2$


Saludos

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Ahora que lo pienso mejor serviría aplicar el toeream fundamental del calculo

$\dfrac{\mathop{}\!\mathrm{d} }{\mathop{}\!\mathrm{d}x}{\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)\mathop{}\!\mathrm{d}t} = f(b(x)) \cdot b^\prime(x) - f(a(x)) \cdot a^\prime(x)=0$

[Richard R Richard]

Mmmm , otra forma de encararlo , si

$z(x)=\left\{\begin{aligned}\log \left(\dfrac xa+1\right) &\text{si }x<0\\\log \left(1-\dfrac xa\right) &\text{si }x\geq 0\end {aligned}\right.$

Creo que la integral del costo ponderado bajo esa curva lo podemos calcular como

$Costo=\dst \int_{-a}^0 \ee^{-k (\log \left(\frac xa+1\right))} \ \dd x+\dst \int_{0}^a \ee^{-k (\log \left(1-\frac xa\right))} \ \dd x=0$

que opinas

Saludos