Sobre igualdad en formulaciones del teorema de Noether.

[inakigarber]

Buenas Noches;

En la formulación del teorema de Noether me encuentro con dos fórmulas que aunque representan lo mismo, no consigo igualarlas.

Por una parte tengo la formulación;

$$\delta L=\epsilon \int_{t_b}^{t_a}\left[\dfrac{\partial L}{\partial x}a+\dfrac{\partial L}{\partial t}b+\dfrac{\partial L}{\partial \dot x}\dot a+\left(L-\dfrac{\partial L}{\partial \dot x}\dot x\right)\dot b\right]$$

dt

Y trato de igualarla con la equivalente;

$$\delta L=\epsilon \int_{t_b}^{t_a}\left[\left(\dfrac{\partial L}{\partial x}-\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot x}\right)\left(a-\dot x b\right)+\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot x}a+\left[L-\dfrac{\partial L}{\partial \dot x}\dot x\right]b\right)\right]dt$$

Partiendo de que ambos son integrales con respecto a dt y de que los límites de integración son los mismos $t_a$ y $t_b$, considero que la función que esta en ambas integrales es igual, pero no he conseguido nada igualándolas.

He intentado hacerlo mediante un ejemplo práctico.

Supongamos que;
$x`=x+\epsilon a$, $\delta x=\epsilon a$
$t`=t+\epsilon b$, $\delta t=\epsilon b$
$\dot x`=\dot x+\epsilon(\dot a-\dot x \dot b)$, $\delta \dot x=\epsilon (\dot a -\dot b \dot x)$

Partiendo de un lagrangiano clásico;
$L=\dfrac{m \dot x^2}{2}-mgx$
$\dfrac{\partial L}{\partial x}=-mg$
Las derivadas con respecto al tiempo son nulas.
Aplicando y sustituyendo en 1 me sale; $mga+m\dot x \dot a-\dfrac{m\dot x^2}{2}-mgx$
Aplicando y sustituyendo en 2 obtengo; $-mg(a-\dot x b)+\dfrac{d}{dt}\left(m\dot a +\dfrac{m \dot x^2}{2}-mgx\right)b$, lo cual al menos aparentemente no me cuadra.

Supongo que he debido meter la pata en algún paso.

Saludos.