Otras carreras Hamiltoniano

[kote]

Se tiene el siguiente lagrangiano: $\text{L}=\displaystyle a\dot{x}^2+b\frac{\dot{y}}{x}+c\dot{x}\dot{y}+fy^2\dot{x}\dot{z}+g\dot{y}^2-k\sqrt{x^2+y^2}$, donde $a,b,c,g,k$ son constantes.

i) Calcular el Hamiltoniano.
ii) Determinar cuales son las cantidades conservadas.

He intentado hacer lo siguiente:

Es sabido que el hamiltoniano se puede obtener a partir del lagrangiano mediante la transformación $\text{H}=\dot{q}_{i}p_{i}-L(q,\dot{q},t)$, donde $\displaystyle p_{i}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}$.

El hamiltoniano debe quedar expresado en función de los momentos y coordenadas generalizadas, donde no deben aparecer velocidades generalizadas en la expresión,.

Como $\text{H}=\dot{q}_{i}p_{i}-L(q,\dot{q},t)$, entonces he pensado en hacer una transformación a coordenadas cilíndricas, pero no llego a nada, ya que me seguirá apareciendo el $\text{z}$, ie:

x=rcosw
y=rsenw
z=z

Luego al hacer $\displaystyle p=\frac{\partial L}{\partial \dot{w}}$ quedará el $\text{z}$ antes mencionado, el cual no debiese aparecer en el hamiltoniano, no entiendo :s.

Me podrían dar algún hint más factible, porfavor?
Saludos

!!RESUELTO!!

[Alriga]

Re: Hamiltoniano

Hola kote, bienvenido a La web de Física, por favor lee atentamente Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

$H=\dot x p_x +\dot y p_y + \dot z p_z - L$

En mi ya muy lejana formación académica nunca vi un Hamiltoniano, por lo que te pido perdón si digo una burrada, pero ¿no se puede aplicar directamente la definición?

$\displaystyle p_{i}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}$

$$p_x=2 a \dot x+c \dot y+fy^2 \dot z$$

$$p_y=\dfrac b x +c \dot x+2g \dot y$$

$$p_z=f y^2 \dot x$$

En (3) despejas

$\dot x = \dfrac{p_z}{f y^2}$

Sustituyes en (2) y despejas:

$\dot y = \dfrac 1 {2g}(p_y-\dfrac b x - \dfrac{c p_z}{f y^2})$

Y ahora sustituyes en (1) y despejas:

$\dot z=\dfrac 1 {f y^2} [ p_x- \dfrac{2 a p_z}{f y^2} - \dfrac c {2g}(p_y-\dfrac b x - \dfrac{c p_z}{f y^2})]$

Si ahora sustituyes estos valores que hemos encontrado para $\dot x, \dot y, \dot z$ en

$H=\dot x p_x +\dot y p_y + \dot z p_z - L$

En la expresión de H ya no aparecerán $\dot x, \dot y, \dot z$ , que creo haber entendido que es el objetivo.

Claro que el proceso es muy laborioso ..., reitero mi solicitud de perdón si no te he ayudado mucho, saludos.

PD: ups, ahora me fijo en que:

!!RESUELTO!!
Última edición por kote; Hoy a las 06:31:22. Razón: RESUELTO

¿Por qué vía lo has resuelto?