Divulgación Consulta sobre Vector de Laplace-Runge-Lenz

[inakigarber]

Buenas noches;
Repasando este blog, en el que se habla sobre la aplicación de la mecánica matricial. En una primera parte del artículo habla de la conveniencia de utilizar magnitudes que permanecen constantes (la energía, el momento lineal y el momento angular). Estoy totalmente de acuerdo, pero me pierdo en la expresión que aparece después del siguiente texto;
"[FONT=Georgia]Una cantidad que ciertamente permanece constante en la mecánica clásica es el momento angular [/FONT][FONT=Georgia]L[/FONT][FONT=Georgia], para la cual tenemos el principio de la conservación del momento angular. Si tomamos el producto vectorial “cruz” de la expresión anterior con el vector momento angular [/FONT][FONT=Georgia]L[/FONT][FONT=Georgia], podemos escribir entonces [/FONT][FONT=Georgia]vectorialmente[/FONT][FONT=Georgia] lo siguiente metiendo en el panorama una fuerza atractiva de carácter general f(r):"

Por una parte multiplica fuerza por momento lineal, pero no entiendo los términos que están a la izquierda de la igualdad.

¿Como podria entenderlo?
Saludos y gracias.

[/FONT]

[Alriga]

Re: Consulta sobre Vector de Laplace-Runge-Lenz

Parte de que la fuerza es la derivada de la cantidad de movimiento:

$\dot{\bold p}=f(r)\dfrac{\bold r}{r}$

La definición de momento angular es:

$\bold L=\bold r \times m\dot{\bold r}$

Multiplicando vectorialmente ambas expresiones miembro a miembro:

$\dot{\bold p} \times \bold L=f(r)\dfrac{\bold r}{r} \times (\bold r \times m\dot{\bold r})$

Reordenando, con la masa hacia la izquierda, ya te sale la expresión del blog:

$\dot{\bold p} \times \bold L=\dfrac{m f(r)}{r} [ \ \bold r \times (\bold r \times \dot{\bold r}) \ ]$

A continuación lo que hace es aplicar la propiedad nº 5 del producto vectorial:

$\mathbf A \times \left(\mathbf B \times \mathbf C \right) =\mathbf B \left( \mathbf A \cdot\mathbf C\right)-\mathbf C \left( \mathbf A \cdot\mathbf B\right)$

Y ya está, saludos.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre Vector de Laplace-Runge-Lenz

Creo que ya empiezo a entenderlo. Tal como lo digo en mi firma "No tengo talento, lo que hago, lo hago solo con mucho trabajo." En este caso, mi cortedad me ha impedido darme cuenta de que $\dot{\bold r}$ es algo tan simple y sencillo como algo llamado velocidad. Seguiré estudiando mas detalladamente este tema. Las dos últimas fórmulas que desarrolla se me escapan. Por otra parte, en la última expresión se menciona la derivada respecto al tiempo del producto cruz $(p \times L)$, sin embargo en los pasos anteriores se menciona $\dot{p}$, y no ${p}$ como en este último caso ¿es esto un error del texto?
Saludos y gracias.

[surrealfrog]

Re: Consulta sobre Vector de Laplace-Runge-Lenz

En el problema de Kepler, el momentum angular se conserva ya que el espacio es isotrópico, y asimismo se conserva también el vector de Laplace-Runge-Lenz (LRL)
Si consideramos ahora un espacio que no es isotrópico, el momentum angular ya no se conserva, sin embargo, ¿el vector LRL se conserva o ya no?
En este caso, alguno de ustedes ha intentando encontrar cantidades conservadas utilizando el teorema de Noether?