2o ciclo Demostración de que el lagrangiano minimiza (que no extremiza) la acción?

[rucky96]

Hola!

Sabéis de alguna demostración que pruebe que el lagrangiano minimiza la acción de forma general? Con el método variacional que aparece en los libros sólo demuestras que el lagrangiano es un extremo. Sé que la demostración intuitiva obtendríamos que el tiempo máximo sería infinito y si hay solución tendrá que ser mínimo. Pero existe la demostración "formal" para cualquier sistema dinámico o se tiene que demostrar individualemnte para cada uno?

Gracias!

[carroza]

Re: Demostración de que el lagrangiano minimiza (que no extremiza) la acción?

Hola.

El lagrangiano no minimiza nada. El lagrangiano es una funcional de la trayectoria. A partir del lagrangiano puede definirse la acción. Las trayectorias que hacen extrema la acción, son las que cumplen las ecuaciones de Euler- lagrange. Y estas trayectorias son las que aparecen en la naturaleza (en mecánica clásica).

Un saludo

[rucky96]

Re: Demostración de que el lagrangiano minimiza (que no extremiza) la acción?

Sí, perdón, me he expresado bastante mal, de hecho erróneamente.

La pregunta correcta hubiera sido: ¿Existe tal demostración (de que la trayectoria dada por el Lagrangiano es realmente un mínimo) en algún libro, sitio web...?

Muchas gracias por contestar

[arivasm]

Re: Demostración de que el lagrangiano minimiza (que no extremiza) la acción?

El principio de acción extremal, la formulación de Euler-Lagrange, las ecuaciones de Hamilton, etc son, en Mecánica clásica, formulaciones equivalentes a las leyes de Newton. La razón por la que se introdujeron es porque dotan de herramientas de cálculo más potentes que estas últimas.

Es posible que tu pregunta se refiera a dicha equivalencia. Si tan solo ten conformas con la equivalencia entre el principio de acción extremal y la mecánica lagrangiana, esto es, las ecuaciones de Euler-Lagrange, la demostración se encuentra en montones de sitios. Un ejemplo es éste: https://cuentos-cuanticos.com/2011/10/07/la-accion-2/

[Weip]

Re: Demostración de que el lagrangiano minimiza (que no extremiza) la acción?

Sí, perdón, me he expresado bastante mal, de hecho erróneamente.

La pregunta correcta hubiera sido: ¿Existe tal demostración (de que la trayectoria dada por el Lagrangiano es realmente un mínimo) en algún libro, sitio web...?

Muchas gracias por contestar

Hola. La respuesta a tu pregunta es que, en realidad, la trayectoria no necesita minimizar la acción en general a pesar del nombre que recibe el principio de mínima acción. Basta con que la trayectoria deje estacionaria la acción. Es por eso que nunca has visto la demostración que pides. En este enlace puedes encontrar un ejemplo de una trayectoria que no es mínimo si no que es punto de silla de la acción.

[carroza]

Re: Demostración de que el lagrangiano minimiza (que no extremiza) la acción?

Sí, perdón, me he expresado bastante mal, de hecho erróneamente.

La pregunta correcta hubiera sido: ¿Existe tal demostración (de que la trayectoria dada por el Lagrangiano es realmente un mínimo) en algún libro, sitio web...?

Hola. Como aqui en la web de fisica, algunos somos bastante tiquismiquis, te diría que sigues planteando la pregunta de forma errónea.

Dada la expresión del lagrangiano, si ponemos la condición de que la acción sea extrema, entonces de obtienen unas ecuaciones que son las ecuaciones de Euler Lagrange.

Con eso, una formulación correcta de tu pregunta sería:

¿Existe la demostración de que la trayectoria, dada por las ecuaciones de Euler lagrange que hacen que la acción sea un extremo, sea un minimo y no un máximo?

La respuesta es No.

Saludos

[rucky96]

Re: Demostración de que el lagrangiano minimiza (que no extremiza) la acción?

No se preocupen, no es ser tiquismiquis, si está mal está mal, lo malo no es estar equivocadx si no actuar como si unx lo supiera todo.

Creo que entonces a lo que os referís es que he estado tomando la definición errónea del principio de mínima acción. Sería este correcto?

“De todos los caminos posibles existentes entre dos puntos y en un tiempo específico, un sistema dinámico (sometido a determinadas restricciones) se moverá sobre aquel que extremice (que no minimizar) el funcional de acción"

En varios sitios me he encontrado con que el principio se basa en minimizar el funcional, aunque no lo demuestran a posteriori.

Muchas gracias a todxs

[surrealfrog]

Re: Demostración de que el lagrangiano minimiza (que no extremiza) la acción?

Evidentemente, la trayectoria dada por las ecuaciones de Euler Lagrange hace que la acción sea un extremo, pero no necesariamente un mínimo, existen casos donde se trata de un máximo o de un punto de silla.