2o ciclo obtencion hamiltoniano

[juanmixp]

Tengo el siguiente Lagrangiano y me piden que haye el hamiltoniano. Tengo el resultado pero no sé llegar a el, ya que me hago un lio con lo de la matriz y los subíndices, sé que es un poco rollo pero agradecería entencer la solucion. Gracias



P.D.: ¿como se pueden escribir formulas en el foro?

[polonio]

Re: obtencion hamiltoniano

Para publicar fórmulas lee este hilo y fíjate en el aprtado 7.

Por otra parte, el hamiltoniano del sistema se obtiene:

$H=\underset{j}{\sum}p_j \dot{q}_j - L(q_j , \dot{q}_j ,t)$

donde:

$p_{j}=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{j}}$


Bueno, pues creo entender que tú tienes dos grados de libertad que llamas $j=a,b$ en lugar de llamarlos $j=1,2$ (¿verdad?). Pues a derivar, muchacho.

(Ten en cuenta que las matrices que $M_{ab}$ y $N_a$ no dependen de $\dot{q}_j$.)

Ánimo.

Por cierto, a mí me da:

$H=\frac{2p_a p_b}{M_{ab}(q,t)}+V(q,t)$

(no lo he repasado).

[juanmixp]

Re: obtencion hamiltoniano

Pues el que tengo yo mis apuntes no es ese... y ya se que es sólo derivar, pero la tengo que estar "liando parda" en algun lado que no veo. El resultado que tengo es este:

$H=\frac{1}{2}(p_{a}-N_{a})M_{ab}^{-1}(p_{b}-N_{b})+V(q,t)$

Gracias

[pod]

Re: obtencion hamiltoniano

No tiene dos grados de libertad, tiene $n$. Los índices $a$ y $b$ van de 1 a $n$, y se sobre entiende que cuando están repetidos se está sumando, o sea

$$M_{ab} \dot q_a \dot q_b = \sum_{a=1}^n \sum_{b=1}^n M_{ab} \dot q_a \dot q_b\ .$$

Bueno, en primer lugar, $M_{ab}$ debe ser simétrica. Si no lo es, se debe simetrizar (como está contraída con una construcción simétrica, la parte antisimétrica no sobrevive, así que da igual). Los momentos conjugados se obtienen por simple derivación

$$p_a = M_{ab} \dot q_b + N_a\ .$$

de aquí uno tiene que aislar la velocidad generalizada bien aislada, es donde uno la puede cagar si no va con cuidado. Lo de pasar $M_{ab}$ dividiendo no funciona, por que no es un número, es una matriz; no se puede sacar factor común y pasarla dividiendo. Hay que multiplicarla por la matriz inversa,

$$(M^{-1})_{ba} M_{ac} = \delta_{ac}\ .$$

En lenguaje matricial, esto es lo mismo que $M^{-1} M = I$. Trabajar con componentes puede ser algo lioso al principio, pero una vez sabes los trucos es muy útil; en este caso, para que la multiplicación matricial sea correcta (filas por columnas) los índices contraídos deben estar juntos; uno puede cambiar de orden las componentes para que esten así (pero cuando hablas de matrices, no puedes cambiarlas de orden claro). Por eso, ya que quiero quitarme la M de la izquierda, debo multiplicar con $M_{ba}$. Bueno, una vez hecho esto, queda

$$\dot q_b = (M^{-1})_{ba} (p_a - N_a) \ .$$

Ahora se trata de meterlo todo en la transformación de Legendre adecuada. Aquí uno tiene que ir con cuidado para no confundir los índices libres con los contraídos (recuerda que los contraídos se pueden cambiar de nombre sin afectar a nada, si hace más cómoda la lectura). Voy a hacerlo con algo más de detalle del necesario, para que que lo entiendas,

$$\begin{aligned}<br /> H & = p_b \dot q_b - L \\<br /> & = p_b (M^{-1})_{ba} (p_a - N_a) - \frac12 M_{ab} (M^{-1})_{ac} (p_c - N_c) (M^{-1})_{bd} (p_d - N_d) \\ &\quad - N_b (M^{-1})_{ba} (p_a - N_a) + V \\<br /> & = (p_b - N_b) (M^{-1})_{ba} (p_a - N_a) - \frac12 M_{ab}(M^{-1})_{bd} \times (M^{-1})_{ac} (p_c - N_c) (p_d - N_d) + V \\<br /> & = (p_b - N_b) (M^{-1})_{ba} (p_a - N_a) - \frac12 \delta_{ad} \times (M^{-1})_{ac} (p_c - N_c) (p_d - N_d) + V \\<br /> & = (p_b - N_b) (M^{-1})_{ba} (p_a - N_a) - \frac12 (p_a - N_a) (M^{-1})_{ac} (p_c - N_c) + V \\<br /> & = (p_b - N_b)(M^{-1})_{ba} (p_a - N_a) - \frac12 (p_a - N_a) (M^{-1})_{ac} (p_c - N_c) + V \\<br /> & = \frac12 (p_a - N_a)(M^{-1})_{ac} (p_c - N_c) + V <br /> \end{aligned}$$

[juanmixp]

Re: obtencion hamiltoniano

Genial¡¡¡ es eso exactamente lo que quería, muchas gracias, ahora te voy con otra duda. Por que pones:

$H=p_{b}q_{b}-L$ y no por ejemplo

$H=p_{a}q_{a}-L$

espero haberme explicado. Supongo que es porque has parametrizado $q_{b}$ pero no sé si hubiera sido igual si hubieras sacado el momento generalizado $p_{b}$, no sé si me explico

otra duda que tengo es sobre la derivación

$<br /> p_{a}=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{a}}=\frac{1}{2}M_{ab}\dot{q}_{b}+N_{a}$

es decir, a mi me sale el $\frac{1}{2}$ y estoy casi seguro que es por lo de la suma en índices repetidos pero no lo entiendo.

Y por último, no entiendo de donde salen los subíndices c y d de la matriz. Lo has hecho muy claro, pero no acabo de entenderlo bien bien

[pod]

Re: obtencion hamiltoniano

Genial¡¡¡ es eso exactamente lo que quería, muchas gracias, ahora te voy con otra duda. Por que pones:

$H=p_{b}q_{b}-L$ y no por ejemplo

$H=p_{a}q_{a}-L$

espero haberme explicado. Supongo que es porque has parametrizado $q_{b}$ pero no sé si hubiera sido igual si hubieras sacado el momento generalizado $p_{b}$, no sé si me explico

Ambas son idénticos (eso sí, no te olvides el punto encima de la q). Los índices sumados se pueden renombrar como te de la gana; da igual como se llamen, están sumados, no son libres. Eso sí, si hay varias sumas en un mismo término (como pasa, por ejemplo, en el término más gordo del cálculo anterior), tienes que tener cuidado de poner índices diferentes para cada suma, de forma que no te confundas que se está sumando con que.

Cuestión de práctica. La décima vez que hagas cálculos con índices no tendras problemas con estas cosas.

Y otra ultima duda que tengo es sobre la derivación

$<br /> p_{a}=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{a}}=\frac{1}{2}M_{ab}\dot{q}_{b}+N_{a}$

es decir, a mi me sale el $\frac{1}{2}$ y estoy casi seguro que es por lo de la suma en índices repetidos pero no lo entiendo. Gracias otra vez

Pues igual que la derivada de $q^2$ es $2q$, el 1/2 se cancela. En este caso, es primordial la simetría de la matriz de masas. Recuerda que la deribada de un producto es igual al primero derivado por el segundo sin derivar más el término al revés,

$$\begin{aligned}<br /> \frac{\partial}{\partial\dot q_c} \Big( M_{ab} \dot q_a \dot q_b \Big)<br /> & = M_{ab} \delta_{ac} \dot q_b + M_{ab} \dot q_a \delta_{bc} \\<br /> & = M_{cb} \dot q_b + M_{ac} \dot q_a \\<br /> & = 2 M_{ca} \dot q_a\ .<br /> \end{aligned}$$

Con práctica, estas cosas se hacen sin necesidad de pensar.

[juanmixp]

Re: obtencion hamiltoniano

gracias de nuevo, lo machacaré a fondo

[polonio]

Re: obtencion hamiltoniano

No tiene dos grados de libertad, tiene $n$. Los índices $a$ y $b$ van de 1 a $n$, y se sobre entiende que cuando están repetidos se está sumando, o sea

$$M_{ab} \dot q_a \dot q_b = \sum_{a=1}^n \sum_{b=1}^n M_{ab} \dot q_a \dot q_b\ .$$

Anda, pues entonces no es lo que suponía (dos grados de libertad). Ya, al responder preguntaba si era así y no vi tu resultado. Pero e bueno de pod ya te ha contestado.