2o ciclo Ejercicio de energía 2

[jorgext]

Similar al otro ejercicio, una partícula de masa $m$, se mueve con energía potencial: $U(x)=U_0 (\tan{\alpha x})^2$, con $E>0$.
El periodo de oscilaciones de la partícula que he obtenido es:

$T(E)=\dfrac{\pi}{\alpha}\sqrt{\dfrac{2m}{E+U_0}}$

El resultado es correcto.

Pero han planteado la siguiente pregunta:

Si la energía $E$ es cero, se obtiene:

$T(0)=\dfrac{\pi}{\alpha}\sqrt{\dfrac{2m}{U_0}}\neq0$

¿Cómo puede la partícula estar realizando oscilaciones si la energía que posee es cero?

¿Puede la partícula moverse al ser su energía cinética más su energía potencial igual a cero ($K+U=0 \to K=-U$)?

De paso, tampoco conozco el procedimiento para obtener la ecuación de movimiento de la partícula $x=x(t)$.

Saludos cordiales.

[nicco]

Hola,

Sabes que F = -grad U = - dU/dx en este caso unidimensional. También sabes que F = m d^2 x/dt^2. Por tanto,

m d^2 x / dt^2 = -dU/dx (*)

La derivada de la energia potencial la tienes puesto que conoces U. Te quedara una función de x y, por tanto, tendrás una ecuación diferencial de segundo orden que supongo sabes resolver (*).

Saludos,

Bueno, importante, para los puritanos y eruditos. Esto es válido si la fuerza es conservativa, cosa que parece cumplirse en este caso que tienes un potencial cuadrático de un oscilador.

, re-re-hola. Esto que te he posteado arriba es para hallar x(t). La parte de la pregunta sobre la energía cero y demás aún me la estoy pensando ... me hago viejo.

[Jose D. Escobedo]

Re: Ejercicio de energía 2

Similar al otro ejercicio, una partícula de masa $m$, se mueve con energía potencial: $U(x)=U_0 \tan{\alpha x}^2$, con $E>0$.
El periodo de oscilaciones de la partícula que he obtenido es:

$T(E)=\dfrac{\pi}{\alpha}\sqrt{\dfrac{2m}{E+U_0}}$

El resultado es correcto.

Si se usa analisis dimencional este resultado parece estar equivocado.

Bajo el radical se tiene que: $\displaystyle \sqrt{\frac{kg}{kg \frac{m^2}{s^2}}} = \frac{s}{m}$...(1)

Luego, $\displaystyle \frac{1}{\alpha}$ tiene dimenciones de $\displaystyle m^2$...(2) deducido de la expresion dada: $U(x)= U_o \tan \alpha x^2$

Finalmente, si se multiplica (1) y (2) las dimenciones seran $ms$ que no son dimenciones de tiempo para ese periodo.

[jorgext]

Re: Ejercicio de energía 2

Muchas gracias, desarrollaré y revisaré el ejercicio.

saludos!

[Jose D. Escobedo]

Re: Ejercicio de energía 2

$\vec F = -\nabla U(x) = -U_o (\sec \alpha x^2)^2 2 \alpha x \hat i \Rightarrow$

$m \ddot x = - U_o ( [\tan \alpha x^2]^2 + 1)2 \alpha x$

A mi me da que: $\displaystyle T = \pi \sqrt{\frac{2 m U_o}{\alpha ( U^2_{(x)} + U^2_o)}}$

[jorgext]

Re: Ejercicio de energía 2

Creo que hay un error de lectura, y también mio, no es el argumento de tangente al cuadrado, sino que la tangente esta elevada a dos.

Saludos!

Veamos que ocurre con el análisis dimensional.

[Jose D. Escobedo]

Re: Ejercicio de energía 2

Ok entonces es algo como esto:

$U(x) =U_o (\tan \alpha x)^2$

En general, este potencial tiene minimos en $\alpha x = n \pi$ y sabiendo supuestamente que $U_o > 0$ entonces estos minimos son estables.
Para reducir mas el problema es necesario estudiar en particular el intervalo $\displaystyle \frac{-\pi}{2} \leq \alpha x \leq \frac{\pi}{2}$ que tiene como minimo el potencial U(x)=0 en x =0 (para intervalos analogos se observa el mismo comportamiento.) Dentro de este mismo intervalo se encontrara la maxima amplitud de su movimiento, ya el movimiento es finito por que esta sujetado a tratar de superar potenciales infinitos en los limites de dicho intervalo, en otras palabras el movimiento esta acotado.

Ahora, bien, por otro lado se sabe que:

$\displaystyle \vec F = -\nabla U(x) = -\hat i \frac{\partial U(x)}{\partial x} \Rightarrow$

$\displaystyle \int m \ddot x \hat i \cdot \hat i dx = -\int \frac{\partial U(x)}{\partial x} \hat i \cdot \hat i dx$ como fue sugerido por nicco y que finalmente es:

$\displaystyle \frac{1}{2}m \dot x^2 + U(x) =K=E$...(1) o lo que es lo mismo la conservacion de la energia, que en este caso si es valido para $x \epsilon I$ de la funcion potencial en el intervalo $I=(\frac{-\pi}{2\alpha}, \frac{\pi}{2\alpha})$. En dicho intervalo, $0 \leq U(x) \Rightarrow$

Para E=0 se tiene que U(x)=0 y que $\displaystyle \frac{1}{2} m v^2 = 0$ o lo que es lo mismo es que no hay movimiento.

Finalmente, para calcular el periodo:

De (1) se tiene que: $\displaystyle \frac{1}{2}m \dot x^2 = E -U(x)$ que finalmente nos da:

$\displaystyle \int_0^A \frac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m}(E -U(x))}} = \int_0^\frac{T}{4} dt$
Aqui use una amplitud cualesquiera entre $\frac{\pi}{2\alpha} y 0$ ( nota: para pequeñas $\alpha x$ se puede usar aproximaciones como: tan($\alpha x$) ~ sen($\alpha x$) ~$\alpha x$ )porque si $x= \frac{\pi}{2 \alpha}$ el potencial U(x) seria infinito lo cual no tiene sentido, haciendo tambien E y la energia cinetica$\to \infty$ , Ademas queria decirte que esa integral no luce nada facil para el potencial $U(x) = u_o (\tan \alpha x)^2$

[Jose D. Escobedo]

Re: Ejercicio de energía 2

Me quedo la inquietud de resolver esta integral y se me ocurrio usar matematica en linea. Este fue el resultado:

$\displaystyle \sqrt{\frac{m}{2}} \left | \frac{\tan^{-1}(\frac{\sqrt{U_o + E} \tan \alpha x}{\sqrt{E-U_o (\tan\alpha x)^2}})}{\alpha \sqrt{E+U_o}} \right |_0^A =\frac{T}{4}$...1'$\Rightarrow$

$\displaystyle \sqrt{\frac{m}{2(U_o+E)}} \frac{1}{\alpha} \lim_{x \to A}\tan^{-1} ( \frac{\sqrt{U_o+E} \tan \alpha x}{\sqrt{E-U_o (\tan \alpha x)^2}}) =\frac{T}{4}$...(1)$\Rightarrow$

Cuando $x \to A$ el potencial $U_o (\tan \alpha x)^2 \to E$ de acuerdo con la consevacion de energia. Es decir, que cuando se tiene el mayor alargamiento (amplitud) la energia potencial es igual a la energia total, como resultado la expresion (1) se transforma en:

$\displaystyle \sqrt{\frac{m}{2(U+E)} } \frac{1}{\alpha} \frac{\pi}{2} = \frac{T}{4} \Rightarrow$

$\displaystyle T= \frac{\pi}{\alpha} \sqrt{\frac{2m}{E+U}}$ lo concuerda con lo que escribiste.

Ahora bien si quieres saber que pasa cuando $E \to 0$ en la expresion (1) haces que $x \to 0$ porque como es sabido $U_o (\tan \alpha x)^2 \leq U_o (\tan \alpha A)^2 \leq E$ y si $E \to 0$ no le queda otra opcion a $x$ que $x \to 0$ por lo tanto:
T=0 es decir que no hay oscilaciones.

Para obtener la ecuacion $x=x(t)$la respuesta se encuentra de (1') en los limites de la integral se puede sustituir el periodo por cualquier tiempo arbitrario y dependiendo de como se provocaron las oscilaciones se pueden utilizar las ecuaciones de la conservacion de la energia y la relacion (1'), ya sea por desviacion en el punto de equilibrio (amplitud dada) o por movimiento (velocidad inicial) o por una combinacion de ambas.

Bye y espero haber ayudado un poco.

Saludos y hasta luego.