1r ciclo Lagrangina

[woodyalex]

Hola tengo un duda en el siguiente problema: Una particula esta limitada a moverse en la superficie de un cilindro de radio a.Sobre ella actua una fuerza hacia el origen proporcional a la distancia a el , tener en cuenta tambien la fuerza de la gravedad.Obtener la Lagrangiana y las ecuaciones del movimiento.
La duda es que yo este ejercicio lo se resolver perfectamente en ausencia de esa fuerza hacia el origen , pero no se que variará con ella.Muchas gracias

[Oriol]

Re: Lagrangina

¿como esta orientado el cilindro respecto la vertical? ¿el origen esta sobre el eje del cilindro? si pusieras un dibujo seria de ayuda e intetaria resolver el problema.

de todas formas, sobre tu duda concreta de como afecta esta fuerza al sistema, si planteas las ecuaciones de lagrange deberias incluir un termino en la energia potencial que representara la integral de esta fuerza a lo largo de su desplazamiento, siendo F=k*d(origen,P). me gustaria resolver el problema. Te agradeceria un dibujo del enunciado.

Suponiendo que el origen estuviera sobre el eje del cilindro i el cilindro estuviera vertical, la energia potencial debido a esta fuerza seria la del archivo que te adjunto, r es el radio del cilindro (constante) i h la cordenada "altura"(lo siento pero no me acuerdo como va el latex), i al estar el cilindro vertical podrias poner que la energia potencial gravitatoria seria V=mgh en este caso el sistema tendria 2 grados de libertad pero solo uno de ellos puede llegar a ser vibratorio, la coordenada correspondiente al giro sin canvio de altitud seria de mecanismo. indicame por favor cuales son estas condiciones del problema. gracias.

[woodyalex]

Re: Lagrangina

El problema es como tu supusiste el cono es vertical con el centro de coordenadas en el centro de su base, pero aunque no dudo en que la manera en que resuelves el problema con esa energia este mal ni mucho menos, creo que debe haber otra forma por que yo en clase no he visto que el profesor haga ejercicios por ese metodo, yo mas bien en lo que pensaba es que a veces cuando hay fuerzas no conservativas en vez de utilizar la tipica ecuacion de la derivada de la Lagrangiana utiliza otra con las mismas derivadas pero de la energia cinetica igualadas a las fuerzas generalizadas, pero no se muy bien como va este metodo esactamente por que aunque lo vi en clase una vez yo personalmente nunca lo utilice, entonces no se muy bien que condiciones son necesaria para utilizarlo y si esas condiciones se dan en este problema.
De todas formas si no te das cuenta del metodo que te digo, el tuyo tambien seria de ayuda.MUCHAS GRACIAS

[Oriol]

Re: Lagrangina

ah. en mi facultad utilizabamos el metodo de las potencias virtuales para añadir qualquier fuerza no conservativa a las equaciones.

de todas maneras yo creo que una fuerza proporcional a una distancia no es una fuerza no conservativa, dado que la fuerza que haze un resorte lineal cumple esta definicion (F=K*x es la fuerza de un muelle lineal) i es conservativa.

[Metaleer]

Re: Lagrangina

ah. en mi facultad utilizabamos el metodo de las potencias virtuales para añadir qualquier fuerza no conservativa a las equaciones.

de todas maneras yo creo que una fuerza proporcional a una distancia no es una fuerza no conservativa, dado que la fuerza que haze un resorte lineal cumple esta definicion (F=K*x es la fuerza de un muelle lineal) i es conservativa.

$F = -K x$ en todo caso, con signo negativo.

En cualquier caso, cualquier fuerza unidimensional que sólo es función de la posición es conservativa, ya que cumple trivialmente el requisito de existencia de función energía potencial.

[Oriol]

Re: Lagrangina

el signo de la fuerza puede ser negativo o positivo segun si consideras fuerza de atraccion o repulsion.

[Metaleer]

Re: Lagrangina

el signo de la fuerza puede ser negativo o positivo segun si consideras fuerza de atraccion o repulsion.

Has dicho la fuerza que hace un resorte lineal. Ahí, siempre hay signo negativo.

[Oriol]

Re: Lagrangina

Has dicho la fuerza que hace un resorte lineal. Ahí, siempre hay signo negativo.

bueno la fuerza que haze un resorte lineal puede ser de repulsion o de atraccion no?, siempre hay que definir-lo. da igual, tampoco tiene mucha importancia, almenos para mi.

[Metaleer]

Re: Lagrangina

bueno la fuerza que haze un resorte lineal puede ser de repulsion o de atraccion no?, siempre hay que definir-lo. da igual, tampoco tiene mucha importancia, almenos para mi.

Vamos por partes.

La fuerza que hace un resorte lineal siempre es atractiva, lo que ocurre es que cuando planteas $F = - K x$, cuando $x > 0$, la fuerza es negativa y se dirige hacia la posición de equilibrio estable del sistema (el origen, en este caso). Cuando $x < 0$, la fuerza es positiva, y ahora la fuerza apunta en el otro sentido, de nuevo hacia la posición de equilibrio estable. Así que no es que la fuerza sea negativa o positiva por colocar ese signo negativo ahí o no, hay que ponerlo para que el sistema se comporte como debe comportarse un sistema con movimiento armónico simple.

Si planteas $Kx = \displaystyle m\frac{d^2x}{dt^2}$ y resuelves esta ecuación diferencial, verás que no obtienes cosenos y senos, sino exponenciales reales (si quieres, cosenos y senos hiperbólicos), con $K$ positiva.

Saludos.

[Oriol]

Re: Lagrangina

Vamos por partes.

La fuerza que hace un resorte lineal siempre es atractiva, lo que ocurre es que cuando planteas $F = - K x$, cuando $x > 0$, la fuerza es negativa y se dirige hacia la posición de equilibrio estable del sistema (el origen, en este caso). Cuando $x < 0$, la fuerza es positiva, y ahora la fuerza apunta en el otro sentido, de nuevo hacia la posición de equilibrio estable. Así que no es que la fuerza sea negativa o positiva por colocar ese signo negativo ahí o no, hay que ponerlo para que el sistema se comporte como debe comportarse un sistema con movimiento armónico simple.

Si planteas $Kx = \displaystyle m\frac{d^2x}{dt^2}$ y resuelves esta ecuación diferencial, verás que no obtienes cosenos y senos, sino exponenciales reales (si quieres, cosenos y senos hiperbólicos), con $K$ positiva.

Saludos.

tienes razon, tal como lo habia dicho tenia que poner signo negativo. cuando decides si la fuerza es de atraccion o repulsion es cuandro trabajas con vectores i puedes decidir el sentido, gracias por corregir. La duda ahora es si en el problema que se plantea al principio de este foro la fuerza es negativa o positiva... ¿que opinais? el enunciado que pones dice que hay una fuerza proporcional a la distancia, ¿la constante de proporcionalidad sera positiva?

[pod]

Re: Lagrangina

el enunciado que pones dice que hay una fuerza proporcional a la distancia, ¿la constante de proporcionalidad sera positiva?

El enunciado dice "hacia el origen". Eso básicamente significa que es atractiva.

Hola tengo un duda en el siguiente problema: Una particula esta limitada a moverse en la superficie de un cilindro de radio a.Sobre ella actua una fuerza hacia el origen proporcional a la distancia a el , tener en cuenta tambien la fuerza de la gravedad.Obtener la Lagrangiana y las ecuaciones del movimiento.
La duda es que yo este ejercicio lo se resolver perfectamente en ausencia de esa fuerza hacia el origen , pero no se que variará con ella.Muchas gracias

La forma más efectiva de resolver este problema es utilizar coordenadas cilíndricas, ya que entonces la ligadura es muy sencilla, r = constante.

La fuerza tiene la forma,

$$\vec F = - k ( r \hat r + z \hat k ) \ .$$

Es fácil demostrar que este vector tiene las características deseadas: su módulo es $k \sqrt{r^2 + z^2}$, proporcional a la distancia en cilíndricas; y además está dirigido al origen de coordenadas.

Toca buscar el potencial,

$$V = - \int\!\! \vec F \cdot \dd \vec \ell \ .$$

Cualquier recorrido sobre el cilindro no puede tener componente en $\vec r$, lo cual significa que se podrá escribir

$$\dd \vec \ell = \dd\theta\, \vec\theta + \dd z\, \vec k \ .$$

Por lo tanto,

$$V = -\int\!\! (-k) z \dd z = \frac12 k z^2 \ .$$

Es decir, el lagrangiano será la suma de un oscilador armónico en la dirección z, más una rotación al rededor del cilindro. No muy sorprendente

[woodyalex]

Re: Lagrangina

Muchas gracias pero ahora otra cosilla de otro ejercicio similar es uno de oscilaciones acopladas, bien yo hago la Lagrangiana consigo la matriz de masas y eso y saco las frecuencias normales de oscilacion hasta hay siempore bien, pero luego me pide que de el conjunto de condiciones iniciales que excitan cada modo normal , y eso ni idea de como sacarlo.Gracias

[pod]

Re: Lagrangina

Muchas gracias pero ahora otra cosilla de otro ejercicio similar es uno de oscilaciones acopladas, bien yo hago la Lagrangiana consigo la matriz de masas y eso y saco las frecuencias normales de oscilacion hasta hay siempore bien, pero luego me pide que de el conjunto de condiciones iniciales que excitan cada modo normal , y eso ni idea de como sacarlo.Gracias

Pon la amplitud de uno de los modos a 0, y mira a ver que posición y velocidad inicial te sale.