1r ciclo Movimiento de una masa sobre un plano inclinado

[Gallinita amarilla]

Hola! Estoy un poco liada con el siguiente problema:

Una partícula de masa m descansa sobre un plano suave. El plano se inclina un ángulo "teta" con un crecimiento crecimiento constante "alfa", siendo "teta" = 0 cuando t=0, haciendo que la partícula se mueva hacia abajo. Determine el movimiento de la partícula.

Puedo deciros que la solución es: r(t)= r(0)cosh"alfa"t+ (g/(2"alfa"^2))(sen"alfa"t - senh"alfa"t)

Cualquier idea sobre cómo resolverlo usando el lagrangiano me ayudará.

Muchas gracias!

[pod]

Re: Movimiento de una masa sobre un plano inclinado

Hola gallinita (bonito nick ). La ligadura de este problema es que la partícula siempre está sobre el plano inclinado. Es, por tanto, un problema de una dimensión. Sea d(t) la distancia al punto de partida (que yo tomaré como el origen de coordenadas y de energía potenciales). La posición por lo tanto se puede escribir como

$$\vec r = (x,y) = d(t) \Big( \cos \alpha t ,\ -\sin\alpha t \Big) \ .$$

La energía cinética será

$$\begin{aligned}<br /> T & = \frac12 m \Big( \dot x^2 + \dot y^2 \Big) \\<br /> & = \frac12 m \Big( ( \dot d \cos\alpha t - d \alpha \sin\alpha t )^2 + (- \dot d \sin\alpha t - d \alpha \cos\alpha t )^2 \Big) \\<br /> & = \frac12 m ( \alpha^2 d + \dot d^2 ) \ .<br /> \end{aligned}$$

Y la energía potencial será

$$V = mgy = - m g d \sin \alpha t \ .$$

Con esto, debería serte sencillo.

[Gallinita amarilla]

Re: Movimiento de una masa sobre un plano inclinado

Muchas gracias! No consigo llegar al resultado que me dan pero entiendo el planteamiento que es lo más me importaba. Gracias de nuevo!

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Re: Movimiento de una masa sobre un plano inclinado

Muchas gracias! No consigo llegar al resultado que me dan pero entiendo el planteamiento que es lo más me importaba. Gracias de nuevo!

¿Dónde te encallas?

[Gallinita amarilla]

Re: Movimiento de una masa sobre un plano inclinado

Pues no sé donde me estoy equivocando, he resuelto la ecuación de Lagrange, despejado la aceleración de d y al integrar me sale algo más sencillo de lo que me dan

[pod]

Re: Movimiento de una masa sobre un plano inclinado

Es que la ecuación diferencial que te sale no es separable. Es una ecuación de segundo grado ordinaria. El lagrangiano es

$$L = \frac12 m ( \alpha^2 d^2 + \dot d^2 ) + m g d \sin \alpha t\ .$$

Por lo que la ecuación de Lagrange da

$$- m \ddot d + \Big( m\alpha^2 d + m g \sin\alpha t \Big) = 0\ .$$

Lo cual se puede escribir tal que

$$\ddot d - \alpha^2 d = g \sin\alpha t \ .$$

Como siempre, hay que calcular primero la solución de la ecuación homogenea. Fíjate que esta ecuación se parece mucho a la de un oscilador armónico, pero tiene el signo cambiado. Esto se traduce en que las soluciones son funciones hiperbólicas, no trigonométricas,

$$d_h = A \sinh \alpha t + B \cosh \alpha t \ .$$

Ahora te falta buscar una solución particular, y aplicar las condiciones iniciales.