2o ciclo Partícula en una superficie de revolución.

[[Beto]]

Hace algún tiempo que no posteo ningún problema y creo que ya es hora de hacerlo para y abrir un nuevo hilo, he encontrado uno que me parece interesante y dice así:

Supongamos que se tiene una partícula de masa $m$ que se mueve sobre la cara superior de una superficie de revolución $z=-1/r$, bajo la influencia del campo gravitatorio terrestre, como se muestra en la figura. Y considerando que parte con una velocidad inicial $v_0$ en dirección $\phi$ (horizontal) desde una posición $r_0$, y ademas teniendo en cuenta que no hay rozamiento y que la partícula no se despega de la superficie, la idea es analizar este movimiento y ver que magnitudes se conservan o no durante este movimiento.

Ojala les guste este problema.

[pod]

Re: Partícula en una superficie de revolución.

Bueno creo que has comentado alguna vez que aún no sabes de mecánica Lagrangiana; este problema es ideal para ver como funciona. Permíteme primero que modifique un poco la ecuación de la superficie para hacer que sea coherente en sus unidades: r = - a/z.

Dado que la masa está obligada a moverse sobre la superficie, tenemos sólo dos grados de libertad. Elijamos, por ejemplo $(\phi, z)$. El primer paso para construir la lagrangiana es calcular la energía cinética:

$\begin{aligned}<br /> T & = \frac12 m \left( \dot r^2 + r^2 \dot\phi^2 + \dot z^2 \right) \\<br /> & = \frac12 m \left( \frac{a^2}{z^4} \dot z^2 + \frac{a^2}{r^2} \dot\phi^2 + \dot z^2 \right) \\<br /> & = \frac12 m \left[ \left( \frac{a^2}{z^4}+1 \right) \dot z^2 + \frac{a^2}{z^2} \dot\phi^2 \right] \ .<br /> \end{aligned}$

la energía potencial es muy sencilla, $V = m g z$. El lagrangiano es simplemente la resta $L = T - V$, por lo tanto

$\boxed{ L = \frac12 m \left[ \left( \frac{a^2}{z^4}+1 \right) \dot z^2 + \frac{a^2}{z^2} \dot\phi^2 \right] - m g z \ .}$

Del lagrangiano leemos directamente dos cantidades conservadas:

1. Dado que el lagrangiano no depende del tiempo y es cuadrático en las velocidades, la energía E = T + V se conserva.
2. Dado que el lagrangiano no depende de la coordenada generalizada $\phi$, su momento conjugado $p_\phi$ (que equivale a lo que en otros contextos
   se llama momento angular) es conservado:
   $\displaystyle p_\phi = \frac{\partial L}{\partial \dot\phi} = m \frac{a^2}{z^2}\, \dot\phi \ .$

Como hemos encontrado tantas integrales del movimiento (cantidades conservadas) como grados de libertad tenemos (dos), el sistema es integrable; lo cual significa que podemos resolver todo el movimiento sin ni siquiera recurrir a las ecuaciones del movimiento de Euler-Lagrange (lo cual no tiene por que ser fácil).

La solución propuesta es z = constante, $\dot z = 0$. En esta solución, hay una constante del movimiento más, $p_z \propto \dot z = 0$, cuya expresión es

$\displaystyle p_z = m \left( \frac{a^2}{z^4}+1 \right) \dot z \ .$

Esta no es una integral del movimiento, es decir, no siempre es una constante. Es tan sólo constante en esta solución particular. A algunos le gusta indicar esto con un puntito por encima del signo de igualdad, $p_z \dot = 0$.

Vamos ahora a solucionar todo el movimiento. Para empezar, tenemos la ecuación de conservación del momento angular,

$\dot\phi = p_\phi \frac{z^2}{m a^2}\ .$

En segundo lugar tenemos la ecuación de Euler-Lagrange para z,

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\partial L}{\partial \dot z} - \frac{\partial L}{\partial z} = 0\ ,$

que nos da

$\displaystyle m \left( \frac{a^2}{z^4}+1 \right) \ddot z - 2m \frac{a^2}{z^5} \dot z^2 + m\frac{a^2}{z^3} \dot\phi^2 + mg = 0 \ ,$

en nuestra solución, todo esto es mucho más sencillo,

$\displaystyle m \frac{a^2}{z^3} \dot\phi^2 + mg = 0 \ ,$

que utilizando la definición del momento angular

$\displaystyle \frac{z}{m a^2} p_\phi^2 + m g = 0 \ ,$

lo cual nos permite encontrar la coordenada z en función del momento angular,

$\displaystyle z = - \frac{m^2 g a^2}{p_\phi^2} \ .$

El signo es correcto dada la elección que hemos hecho, z = - a/r, donde r siempre es positivo. Esta ecuación nos dice a que altura girará la masa si queremos que tenga un momento angular dado; o si hacemos la lectura al revés, nos dirá cual debe ser el momento angular para que la partícula gire en el plano z.

El último paso sería ver la expresión de la energía, que usando las expresiones recién obtenidas, también se puede escribir totalmente en función de z (o $p_\phi$, según queramos).

[[Beto]]

Re: Partícula en una superficie de revolución.

Gracias, al parecer los problemas se verán más bonitos así ... y descuida ya para fin de semestre entenderé lo que hiciste

[silef]

Re: Partícula en una superficie de revolución.

Hola
Nueva en el foro
no entiendo el cambio de coordenadas, no entiendo quien es a y z
gracias!

[[Beto]]

Re: Partícula en una superficie de revolución.

Hola
Nueva en el foro
no entiendo el cambio de coordenadas, no entiendo quien es a y z
gracias!

Hola, $a$ es parámetro ya que la curva tiene la forma de:

$$r=-a/z$$

donde $z$, viene a ser la posición en el eje $Z$ el que es vertical, está indicado en la figura.

[silef]

Re: Partícula en una superficie de revolución.

gracias, no se ve el grafico, pero igual se entiende

[[Beto]]

Re: Partícula en una superficie de revolución.

gracias, no se ve el grafico, pero igual se entiende

Yo si lo veo, te recomendaría usar Mozilla Firefox como navegador de internet, el internet explorer suele presentar esos problemas, ¿usas ese último verdad?