2o ciclo Corchetes de Poisson

[QuantumWalrus]

Hola. Aprovecho para presentarme y saludar a todos los miembros de éste foro.

La pregunta es algo general: ¿Qué son, y para qué sirven los corchetes de Poisson? La wikipedia me dice que son "operadores importantes en la mecánica Hamiltoniana", además de que plantea un escenario para el desarrollo de la mecánica en términos de transformaciones de coordenadas (y/o transformaciones "canónicas", esto no entiendo muy bien qué signifique). En el artículo también tratan de dar una introducción rigurosa al tema planteando variedades con una "forma simpléctica" definida en ella (sé lo de variedades, pero no lo de formas simplécticas).

He visto cómo las definen, pero así de pronto no se me ocurre cómo usarlas. ¿Alguien me puede esclarecer más sobre el origen y el uso de estos corchetes?

Saludos y gracias adelantadas.

[pod]

Re: Corchetes de Poisson

No sé si alguien sabe realmente el origen del paréntesis de Poisson. Como tantos otros conceptos, el uso que se hace hoy en día no tiene porqué ser el original. Probablemente a alguien (seguramente Poisson ) se le ocurrirían, y después hicieron fortuna. Pero bueno, así es como a mi me gusta introducirlos:


Uno de los problemas más importantes en mecánica Hamiltoniana es encontrar constantes del movimiento. Eso involucra encontrar funciones de las coordenadas y momentos, $f(q_i,\ p_i)$, tales que su derivada total respecto del tiempo es cero. Usando la regla de la cadena y las ecuaciones de Hamilton, esta derivada se puede escribir

$$\begin{aligned}<br /> \frac{\dd f}{\dd t} & = \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\dd q_i}{\dd t} + \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\dd p_i}{\dd t} \\<br /> & = \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i} .<br /> \end{aligned}$$

Como esta estructura de derivadas parciales cruzadas y con signo relativo se repite mucho, es útil ponerle un nombre: el paréntesis de Poisson,

$$\big\{ A ,\ B \big\} = \frac{\partial A}{\partial q_i} \frac{\partial B}{\partial p_i} - \frac{\partial B}{\partial q_i} \frac{\partial A}{\partial p_i} .$$

Por lo tanto, la derivada total de algo respecto el tiempo se puede escribir como

$$\frac{\dd f}{\dd t} =-\big\{ H,\ f\big\} .$$

Esta forma de ponerlo es un poco rara: sería más fácil poner $\big\{ f,\ H\big\}$, o definir el corchete al revés... pero mira, la gente se ha acostumbrado a ponerlo así, que le vamos a hacer.

Para empezar, esto tiene una aplicación práctica. SI estamos buscando constantes del movimiento, basta con hacer una tabla de corchetes de Poisson para encontrar una combinación que de cero. Como esto es válido para la derivada total de cualquier cosa, nos permite escribir las ecuaciones de Hamilton de una forma muy sencillita,

$$\begin{aligned}<br /> \dot p_i & = - \big\{ H, p \big\} , &<br /> \dot q_i & = - \big\{ H, q \big\} .<br /> \end{aligned}$$

Pero la verdadera utilidad está en leer la segunda ecuación de una forma algo diferente. Viene a decir que si algo cambia con el tiempo es debido a que su pareńtesis de Poisson con el hamiltoniano no es cero. Es decir, el hamiltoniano genera la evolución temporal; y el paréntesis de Poisson es precisamente la estructura que nos permite determinarla.

La pregunta lógica sería ver si esto mismo pasa con otro tipo de derivadas. Por ejemplo, la derivada respecto una de las coordenadas. Es muy fácil comprobar la igualdad

$$\frac{\partial f}{\partial q_i} = - \big\{ p_i,\ f \big\} .$$

Es decir, el momento conjugado es el generador de las translaciones en una coordenada. Esto es muy fácil de entender: si hay cierto momento, quiere decir que el sistema se mueve en la dirección de la variable generalizada correspondiente.

Si sabéis algo de matemáticas, todo esto sonará un poco a la teoría de grupos de Lie. Cada elemento de un grupo de Lie representa una transformación del sistema. Cada grupo de Lie tiene asociada una álgebra de Lie. Cada elemento del grupo se puede obtener a partir de un elemento del álgebra.

A menudo queremos ver como se comporta una parte del sistema bajo la transformación que viene determinada por un elemento del grupo. Lo que tenemos que hacer es aplicar el pareńtesis de Lie entre lo que queremos transformar y el elemento del álgebra que corresponde a ese elemento grupo en cuestión. Este elemento del álgebra recibe el nombre de generador (o, mejor aún, es una combinación lineal de los generadores).

Teniendo en cuenta todo esto, la relación parece muy obvia. El paréntesis de Poisson no es más que el paréntesis de Lie asociado a una álgebra. Y esa álgebra está asociada a un grupo de Lie. ¿Qué grupo? Pues resulta que es el grupo simpléctico.

De hecho, el espacio de configuraciones $\{q_i,\, p_i\}$ tiene la estructura de una variedad diferencial simpléctica. Así que es bastante normal que la evolución a lo largo de las diferentes fibras venga dada por la estructura de una forma bilinear simplética (el pareńtesis de Poisson).

Este es un pequeño resumen. La estructura simpléctica de la mecánica clásica puede llegar a ser muy complicada, y hay que estudiarla con detenimiento (más del que nunca he dedicado yo al asunto, la verdad ). Espero que este pequeño resumen al menos te sirva.

Una última cosa: la mayor utilidad hoy en día del pareńtesis de Poisson es que proporciona el paso directo a la mecánica cuántica. Si tenemos una teoría clásica, el proceso de cuantización canónica nos dice que:

1) Todas las funciones dinámicas pasan a ser operadores que actúan sobre un espacio de Hilbert. Por ejemplo, las coordenadas $\{q_i,\ p_i\}$ dejan de ser simples números y pasan a ser operadores, $\{\hat Q_i,\ \hat Q_i\}$.

2) El pareńtesis de Poisson se promociona al conmutador de los operadores correspondientes,

$$\big\{ a,\ b \big\} \xrightarrow{\text{cuantizaci\'on}} \frac1{i \hbar} \big[ \hat A,\ \hat B \big]$$

[QuantumWalrus]

Re: Corchetes de Poisson

Muchas Gracias Pod!

Tengo un par de dudas sobre lo que has escrito:

-Cuando escribes

$\begin{aligned} \dot p_i & = - \big\{ H, p \big\} , & \dot q_i & = - \big\{ H, q \big\} . \end{aligned}$

¿$p$ se refiere a $p_i$? (lo mismo para $q$) Es lo que he asumido para obtener las ecuaciones comunes de Hamilton a partir de la definición de corchetes.

-Cuando hablas de la cuantización canónica y te refieres al "cambio" de variables a operadores, los segundos son $\{\hat Q_i,\ \hat P_i\}$, ¿verdad?

Una cosa más, ¿conoces algún recurso "amigable" para introducirse en el tema de Grupos y Álgebras de Lie? He estudiado variedades antes, pero el único recurso que he leído (un libro de C. Isham sobre Geometría Diferencial en Física) los presenta de manera algo árida. También creo haber descargado alguna vez un documento de t'Hooft al respecto pero no lo he revisado bien. ¿Alguna ayuda?

De nuevo te agradezco por tu resumen, me he enterado de mucho y ahora me queda más claro a qué se refieren frases como "El Hamiltoniano es el generador de la evolución temporal". ¿Será posible definir algo análogo con el Lagrangiano y las ecs. de Euler-Lagrange?

Saludos.

[pod]

Re: Corchetes de Poisson

Muchas Gracias Pod!

Tengo un par de dudas sobre lo que has escrito:

-Cuando escribes

$\begin{aligned} \dot p_i & = - \big\{ H, p \big\} , & \dot q_i & = - \big\{ H, q \big\} . \end{aligned}$

¿$p$ se refiere a $p_i$? (lo mismo para $q$) Es lo que he asumido para obtener las ecuaciones comunes de Hamilton a partir de la definición de corchetes.

-Cuando hablas de la cuantización canónica y te refieres al "cambio" de variables a operadores, los segundos son $\{\hat Q_i,\ \hat P_i\}$, ¿verdad?

Seh.

Una cosa más, ¿conoces algún recurso "amigable" para introducirse en el tema de Grupos y Álgebras de Lie? He estudiado variedades antes, pero el único recurso que he leído (un libro de C. Isham sobre Geometría Diferencial en Física) los presenta de manera algo árida. También creo haber descargado alguna vez un documento de t'Hooft al respecto pero no lo he revisado bien. ¿Alguna ayuda?

A mi cuanto menos áridos me parecieron fue cuando los di en clase

De nuevo te agradezco por tu resumen, me he enterado de mucho y ahora me queda más claro a qué se refieren frases como "El Hamiltoniano es el generador de la evolución temporal".

¿Será posible definir algo análogo con el Lagrangiano y las ecs. de Euler-Lagrange?

Saludos.

No que yo sepa, no hay ninguna función conjugada al lagrangiano.

[Gothgauss]

Re: Corchetes de Poisson

Te sirven para saber si es constante de movimiento una coordenada o no