Divulgación ¿Qué es esto?

[Visitante]

El otro día me pregunté que pasaría si integrara el vector de posición o la ecuación de posición respecto al tiempo en un MRUA, pensé que como la aceleración es la derivada segunda de la posición pero ¿puede ser la posición la derivada de "algo" respecto al tiempo?
Me sale lo siguiente donde m es un número:
$\int {x}_{0 }+{v}_{0 }t+\frac{a{t}^{2 }}{ 2}dt=m-{m}_{0 }$ La integral es una integral definida de t a 0 pero no sé como ponerla en $LATEX$.
resulta
$m={m}_{0 }+{x}_{0 }t+\frac{v{t}^{2 }}{ 2}+\frac{a{t}^{3 }}{ 6}$
Mi pregunta es ¿Es esto algo real?

[Weip]

Re: ¿Qué es esto?

Puedes hacerlo ya que la posición es contínua y las funciones contínuas son integrables en el sentido de Riemann, pero que yo sepa no tiene interpretación física. Lo que sí es útil en ciertos casos son las derivadas de la aceleración.

Para las integrales, pon \dst\int^t_0. El resultado es $\dst\int^t_0$. El \dst sirve para que se vea grande.

[alexpglez]

Re: ¿Qué es esto?

Había encontrado otra curiosidad que no entendía demasiado bien.
Es aplicar la función de Taylor a cinemática.

$$f(x)=\sum_n^{\infty} \frac{(x-a)^n}{n!} f^n (a)=f(a)+(x-a) f'(a)+\frac{1}{2}(x-a)^2 f''(a)+\frac{1}{6}(x-a)^3 f'''(a)+...$$

Hacemos $x=t$, $a=t_0$, $\Delta t=x-a$

$$\vec r(t)=\sum_n^{\infty} \frac{(\Delta t)^n}{n!} \vec r^n (t_0)=\vec r_{t_0}+ \vec v_{t_0} \Delta t + \frac{1}{2}\vec a_{t_0} \Delta t^2+\frac{1}{6}\vec a^2_{t_0} \Delta t^3+\frac{1}{24}\vec a^3_{t_0} \Delta t^4+\frac{1}{120}\vec a^4_{t_0} \Delta t^5+...$$

Los tres primeros términos corresponden a un movimiento MRUA. ¿Los siguientes, tienen algún significado físico y que se pueda utilizar para aproximaciones esta fórmula?
PD: He querido indicar $\vec a^2$ sobre aceleración, $\vec a^3$ sobre sobre aceleración, etc.

- - - Actualizado - - -

Y si calculamos las constantes iniciales por ejemplo de un MAS. Me sale que:
$a=-\omega ^2 x$
$a^2=-\omega ^3 v$
$a^3=\omega ^4 x$
$a^4=\omega ^5 v$
Por lo que:

$$x(t)=x_0+ v_0 t - \frac{1}{2}\omega ^2 x_0 t^2 -\frac{1}{6}\omega ^3 v_0 t^3+\frac{1}{24}\omega ^4 x_0 t^4+\frac{1}{120} \omega ^5 v_0 t^5+...$$

[Weip]

Re: ¿Qué es esto?

Había encontrado otra curiosidad que no entendía demasiado bien.
Es aplicar la función de Taylor a cinemática.

$$f(x)=\sum_n^{\infty} \frac{(x-a)^n}{n!} f^n (a)=f(a)+(x-a) f'(a)+\frac{1}{2}(x-a)^2 f''(a)+\frac{1}{6}(x-a)^3 f'''(a)+...$$

Hacemos $x=t$, $a=t_0$, $\Delta t=x-a$

$$\vec r(t)=\sum_n^{\infty} \frac{(\Delta t)^n}{n!} \vec r^n (t_0)=\vec r_{t_0}+ \vec v_{t_0} \Delta t + \frac{1}{2}\vec a_{t_0} \Delta t^2+\frac{1}{6}\vec a^2_{t_0} \Delta t^3+\frac{1}{24}\vec a^3_{t_0} \Delta t^4+\frac{1}{120}\vec a^4_{t_0} \Delta t^5+...$$

Los tres primeros términos corresponden a un movimiento MRUA. ¿Los siguientes, tienen algún significado físico y que se pueda utilizar para aproximaciones esta fórmula?
PD: He querido indicar $\vec a^2$ sobre aceleración, $\vec a^3$ sobre sobre aceleración, etc.

- - - Actualizado - - -

Y si calculamos las constantes iniciales por ejemplo de un MAS. Me sale que:
$a=-\omega ^2 x$
$a^2=-\omega ^3 v$
$a^3=\omega ^4 x$
$a^4=\omega ^5 v$
Por lo que:

$$x(t)=x_0+ v_0 t - \frac{1}{2}\omega ^2 x_0 t^2 -\frac{1}{6}\omega ^3 v_0 t^3+\frac{1}{24}\omega ^4 x_0 t^4+\frac{1}{120} \omega ^5 v_0 t^5+...$$

La expansión de Taylor para la posición es usada en diversos métodos numéricos con ordenador. Piensa que para encontrar la función posición necesitamos resolver la ecuación diferencial dada por la segunda ley de Newton. En el caso de un MRUA o un movimiento parabólico la resolución es sencilla, pero existen muchos sistemas para los cuales es muy difícil (y en ocasiones es imposible analíticamente) encontrar la función posición. Por eso se suele aplicar la expansión de Taylor hasta cierto orden de forma que el error cometido sea muy pequeño.

PD: Para la próxima vez intenta abrir otro hilo porque el nivel se escapa un poco respecto a la pregunta inicial de Malevolex.