Divulgación La abstracción de la física y matemáticas

[Visitante]

Buenas,

Durante esta carrera me he dado cuenta que el nivel de abstracción es brutal, el año pasado pensaba que más o menos me sabía las matemáticas y la física que podía haber, creía que faltaba estudiarlas un poco de manera más profunda, buff estaba totalmente equivocado, en matemáticas me da la sensación que estoy alcanzando un nuevo plano de existencia debido a la pedazo de abstracción que hay (conjuntos numerables, no numerables, función de dirichlet, la de Weierstrass, espacios duales...) Me da la sensación que me estoy perdiendo en este mar de abstracción, he conseguido "visualizar" algo como el conjunto de funciones para álgebra (Nunca pensé aplicar funciones a funciones xd) y en cierto modo también visualizar sucesiones, pero es algo que me ha costado mucho desarrollar y por lo que nos han hablado voy a perder aún más está visualización; funciones en varias variables, derivadas parciales, familia de funciones como solución de una EDO... Buff y en física está empezando a ocurrir, antes podía visualizarlo perfectamente, pero ahora que se meten con distribuciones continurales que has y la cantidad de integay que hacer me impide "tener" una idea visual de lo que estoy haciendo, y sé que esto irá a peor con mecánica y termo el año que viene, bueno mi pregunta es esta ¿Debería molestarme en tratar de visualizar las cosas tan abstractas, o simplemente basarme en la definición y seguir para adelante?

Pd: No sé si este es el sitio adecuado para el lugar.

[carroza]

Re: La abstracción de la física y matemáticas

¿Debería molestarme en tratar de visualizar las cosas tan abstractas, o simplemente basarme en la definición y seguir para adelante?

Hola. La física trata de cosas concretas. Cosas que ves en la naturaleza, y cosas que puedes experimentar en el laboratorio. Lo que ocurre es que para describir las propiedades de esas cosas concretas, hay que introducir conceptos abstractos, y hay que usar unas matemáticas razonablemente sofisticadas.

Es normal que, en los primeros años de la carrera uno se fascine con la abstracción, y pierda el contacto con las cosas concretas que uno quiere describir. En los cursos finales uno se da cuenta que las matemáticas relevantes no son tan complicadas (ecuaciones diferenciales, matrices y poco más), y que las abstracciones que aparecen en los cursos iniciales se introducen para explicar cosas muy concretas.

Referente a tu pregunta, frente a un nuevo concepto abstracto uno debe ser pragmático: Siempre uno debe "visualizar" una idea aproximada del concepto, y dejar los detalles para las expresiones matemáticas.

Un ejemplo: Si quieres "visualizar" un campo vectorial, es poco util que imagines un "conjunto de tres funciones, continuas y derivables, que son funciones de las coordenadas espaciales y temporales".
Visualiza un campo de flechas, tal que habría una flecha en cada punto. Y piensa que eso lo has introducido porque, más adelante, verás que la fuerza que actúa sobre una partícula que pasa por un punto dado, está relacionada, de alguna forma, con la flecha que haya en ese punto.

Una buena pregunta para tu profesor es cómo puedes visualizar un concepto. Eso está relacionado con el "sentido físico" de un concepto, en el que, más allá del formalismo matemático, uno entiende, en palabras, o en imágenes, de qué va dicho concepto.

Saludos

[Weip]

Re: La abstracción de la física y matemáticas

Hola Malevolex.

Durante esta carrera me he dado cuenta que el nivel de abstracción es brutal, el año pasado pensaba que más o menos me sabía las matemáticas y la física que podía haber, creía que faltaba estudiarlas un poco de manera más profunda, buff estaba totalmente equivocado, en matemáticas me da la sensación que estoy alcanzando un nuevo plano de existencia debido a la pedazo de abstracción que hay (conjuntos numerables, no numerables, función de dirichlet, la de Weierstrass, espacios duales...)

Ciertamente uno se puede sentir abrumado con el nivel de abstracción que hay en estas carreras. Por la parte de matemáticas que es por la que puedo hablar el problema es que pocas veces se dan dibujos y ejemplos concretos. Estas cosas a veces aparecen en la parte de problemas pero a veces ni eso. Cosas como el espacio dual que comentas son muy difíciles de visualizar pero si tienes una mente geométrica entonces tienes que forzarte a intentar pasar de la abstracción al dibujo para entender las cosas. Sé que a veces parece imposible, a mí me lo parecía, pero con el tiempo aprenderás a desarrollar tu imaginación para que estas cosas tan abstractas al final no lo sean tanto. Yo no lo conseguí en primero sino en segundo, y el tiempo que tardes depende un poco de qué asignaturas hagas. En mi caso a mí me ayudó a espabilarme asignaturas como topología, que se podría resumir en "visualiza o suspende".

Me da la sensación que me estoy perdiendo en este mar de abstracción, he conseguido "visualizar" algo como el conjunto de funciones para álgebra (Nunca pensé aplicar funciones a funciones xd) y en cierto modo también visualizar sucesiones, pero es algo que me ha costado mucho desarrollar y por lo que nos han hablado voy a perder aún más está visualización; funciones en varias variables, derivadas parciales, familia de funciones como solución de una EDO...

No quiero desanimarte, pero todo lo que tenga que ver con el análisis y las ecuaciones diferenciales son los conceptos menos abstractos que te encontrarás en tu doble grado. Si tienes dificultades con ellos intenta visualizarlos durante este curso porque en los años siguientes vendrá una ola de abstracción aún más brutal, especialmente en las asignaturas de álgebra. Aún así estoy en desacuerdo con lo que te han dicho de que perderás aún más la visualización: si te esfuerzas por entender los conceptos de forma profunda y te vas haciendo dibujos en principio tu capacidad de visualización irá cada vez a más. También es posible que te ayude el ver un concepto aplicado a otras asignaturas. Por ejemplo yo cuando estudiaba teoría de grupos no acababa de entender lo que era la torsión de un grupo ni de dónde venía el nombre pero tiempo después al hacer topología algebraica pude encontar el origen del término y el concepto "geométrico" (topológico es la palabra más correcta) de la torsión me quedó más claro.

Buff y en física está empezando a ocurrir, antes podía visualizarlo perfectamente, pero ahora que se meten con distribuciones continurales que has y la cantidad de integay que hacer me impide "tener" una idea visual de lo que estoy haciendo, y sé que esto irá a peor con mecánica y termo el año que viene, bueno mi pregunta es esta ¿Debería molestarme en tratar de visualizar las cosas tan abstractas, o simplemente basarme en la definición y seguir para adelante?

Mmm con la física me extraña más porque los libros de mecánica, electromagnetismo, fluidos... tienen bastantes dibujos. No sé si los suficientes, pero en este tipo de asignaturas es más raro tener problemas de visualización. Aún así si te cuesta imaginarte las cosas lo dicho, dibuja todo y si tienes dudas de cómo hacerlo siempre puedes preguntarle a tu profesor/profesora o preguntarlo por aquí en el foro. Basarte solo en las definiciones y seguir hacia adelante solo hará que no entiendas nada y que la bola se vaya haciendo más grande conforme vayas aprobando las asignaturas. Una cosa es resolver problemas y la otra es entender los conceptos que hay detrás. Hay que tener cuidado con esto, especialmente en los ejercicios mecánicos.

Espero haberte ayudado.

[Visitante]

Re: La abstracción de la física y matemáticas

Hola Malevolex.


Ciertamente uno se puede sentir abrumado con el nivel de abstracción que hay en estas carreras. Por la parte de matemáticas que es por la que puedo hablar el problema es que pocas veces se dan dibujos y ejemplos concretos. Estas cosas a veces aparecen en la parte de problemas pero a veces ni eso. Cosas como el espacio dual que comentas son muy difíciles de visualizar pero si tienes una mente geométrica entonces tienes que forzarte a intentar pasar de la abstracción al dibujo para entender las cosas. Sé que a veces parece imposible, a mí me lo parecía, pero con el tiempo aprenderás a desarrollar tu imaginación para que estas cosas tan abstractas al final no lo sean tanto. Yo no lo conseguí en primero sino en segundo, y el tiempo que tardes depende un poco de qué asignaturas hagas. En mi caso a mí me ayudó a espabilarme asignaturas como topología, que se podría resumir en "visualiza o suspende".

¿Pero cómo lograr visualizar bases duales? ¿Funciones de Rn en Rn? ¿Más de 3 dimensiones? No sé yo ya me he perdido aquí, y en análisis es más fácil imaginarlo, pero cuando se meten con funciones com ola de Dirichlet o Weierstrass asusta un poco, supongo que es porque nunca lo he visto. En física pues me refiero a cosas como Cuántica o Mecánica de 2º (Lagrangianas, etc) El profesor de EDO dice que no lo entiende aún.

[Weip]

Re: La abstracción de la física y matemáticas

¿Pero cómo lograr visualizar bases duales? ¿Funciones de Rn en Rn? ¿Más de 3 dimensiones?

Para estas cosas lo que has de hacer es dibujarlo para dos y tres dimensiones, luego para dimensión arbitraria aunque no puedes imaginarlo es exactamente el mismo dibujo pero metiendo más coordenadas. El caso de $\mathbb{R}^2$ sobre $\mathbb{R}$ es fácil (recuerda que haciendo este haces el de todos los $\mathbb{R}$-espacios vectoriales de dimensión dos). Si $\left\{e_j\right\}$ es base de $\mathbb{R}^2$ entonces la condición de base dual es $e^i(e_ j)=\delta ^i_j$. En $\mathbb{R}^2$ puedes interpretar esta composición como un producto escalar y entonces la base dual se construye intercambiando los ejes horizontal y vertical. El espacio que te queda es "igual" al anterior. La imagen es la siguiente:

En este enlace puedes leer una explicación más detallada de este dibujo.

No sé yo ya me he perdido aquí, y en análisis es más fácil imaginarlo, pero cuando se meten con funciones com ola de Dirichlet o Weierstrass asusta un poco, supongo que es porque nunca lo he visto.

La función de Weierstrass es esta del enlace. La de Dirichlet con valores en cero y uno (si son otros solo hay que mover las líneas arriba o abajo) tiene como gráfica:

Cuidado porque esta función no es contínua, es decir, entre los puntos de cada línea hay huecos.

En física pues me refiero a cosas como Cuántica o Mecánica de 2º (Lagrangianas, etc) El profesor de EDO dice que no lo entiende aún.

Ah bueno en ese caso sí. Pensaba que te referías a la física de primero. Mecánica cuántica no porque ahí hay un trabajo de interpretación física difícil de hacer, pero la mecánica Lagrangiana y Hamiltoniana sí se prestan bastante a los dibujos.

[sater]

Re: La abstracción de la física y matemáticas

Buenas.
Sólo quería comentar que no te preocupes demasiado, Malevolex. Conforme avances en la carrera, y estudies repetidamente diversos temas (porque cada año usarás/volverás a ver cosas del anterior con otro enfoque, y así pienso que es como se consiguen digerir los conceptos), se te irá formando una imagen mental de las ideas que estudies, y verás que cuando la compartas con tus compañeros iréis coincidiendo y limando las diferencias, que es algo entretenido de hacer.
Mientras tanto, quería recomendar un canal interesante que se focaliza en intentar visualizar conceptos matemáticos. A modo de ejemplo:

Un saludo.

[ignorante]

Re: La abstracción de la física y matemáticas

Una dudita: ¿Por qué queremos siempre visualizar y no "escuchalizar" u "olfatizar" por ejemplo?

[alexpglez]

Re: La abstracción de la física y matemáticas

Hola!!
Yo estoy en matemáticas, y no en físicas, pero si estoy cursando dos asignaturas de físicas (mecánica y ondas 1 y 2). Por un lado entiendo como te sientes, por otro lado creo que no tienes que "visualizar" todo. Me intentaré explicar.

Por otro lado, estaba mirando vuestro plan de estudios (¿estudias en la UCM?), ¿no tenéis ninguna asignatura en la que os hablen de lógica elemental y lenguaje matemático (conjuntos, funciones, números, relaciones de orden, de equivalencia, etc.), o os lo explican en la asignatura de álgebra lineal? Pienso que es fundamental, igual no para entender muchas de las ramas matemáticas, sino para entender las matemáticas en sí mismas, cómo visualizarlas, qué entendemos por conjunto, por función, o por número. Muchas de las ramas más abstractas de las matemáticas residen en la pregunta "¿qué entendemos por número?", en el caso de las ramas algebraicas.

El fallo que yo veo a lo que se enseña en el instituto, es que siempre se ponen ejemplos numéricos y en $\mathbb R$, uno acaba pensando que una función es un criterio que asigna a un número real otro número real, y es un problema, pues los números reales tienen muchísima estructura, es un cuerpo métrico ordenado y completo (¿qué conjunto tiene más estructura qué esa?). ¿Qué problema hay?, podemos estudiar cuándo una función es continua, derivable, C infinito o analítica, podemos por tanto asociar las funciones no analíticas en cualquier punto como patológicas, llegar a creer incluso que toda función es analítica salvo en un conjunto finito de puntos. Y esto es un problema, no sólo porque nos creemos cosas falsas sobre funciones, también porque asociamos conceptos matemáticos al concepto de función, que no tienen nada que ver.
Lo mismo ocurre con los espacios vectoriales, los cuáles se explican en el instituto como conjunto de flechas con dirección y sentido en el espacio. No digo que sea falso, todo espacio vectorial determina una geometría afín, y toda geometría afín determina un espacio vectorial, pero no es pedagógico por lo que mencionas: acabamos creyendo que todo espacio vectorial o bien es $\mathbb R^2$ o $\mathbb R^3$, y nos cuesta imaginar que todos los $\mathbb R^n$ son espacios vectoriales, o que haya espacios vectoriales complejos, que dado un espacio vectorial podamos construir su dual, o espacios de funciones o polinomios, ya sean de dimensión finita o infinita.

Tuve en 1º un profesor de cálculo que nos dijo que cuando estudiaba, él se limitaba a saber hacer lo que le pedían y muchas veces no entendía muy bien la teoría hasta el año siguiente que la conseguía entender. Los años siguientes verás más teoría, que amplían la de este año, y por tanto entenderás mucho mejor lo que estás dando este año.

Por otro lado, te comento lo que te venía diciendo Weip. Muchas veces en matemáticas, por su utilidad y por su elegancia se usan muchas construcciones conjuntistas aunque luego no sea de gran importancia su construcción.
Un ejemplo de ello que ya has visto es el espacio dual: dado un espacio vectorial $V$ sobre un cuerpo $K$, puedes construir su espacio dual $V^*=K^V$ el conjunto de las aplicaciones de V en K, y en ciertas condiciones (por ejemplo cuando $V$ es de dimensión finita) los dos espacios son isomorfos. ¿Qué sentido tiene entonces hablar del espacio dual, si en la mayoría de los casos es isomorfo al espacio original? Tiene utilidad práctica cuando uno analiza aplicaciones de V en K, o aplicaciones multilineales. Es una pena que sobre esto último no se vea nada en álgebra lineal (al menos en mi grado), si no que haya que esperar un año o dos para ver mayor aplicación (formas multilineales alternadas y tensores...). Ahora bien, ¿cómo hay que visualizar el espacio dual de un espacio vectorial?, creo que es mejor pensar en el espacio dual como un espacio vectorial en sí y no como un espacio de aplicaciones, por ejemplo en el caso de $\mathbb R^2^*$ pienso que hay que verlo como $\mathbb R^2$, y la dualidad como un "producto escalar" entre el espacio y su dual. Siguiendo el ejemplo, sea $(a,b) \in \mathbb R^2$ y $(u,v) \in \mathbb R^2^*$ (expresado en su base dual), entonces tienes automáticamente un "producto escalar" que se representa formalmente como una función de $\mathbb R^2 \longrightarrow \mathbb R$ aplicado a un vector de $\mathbb R^2$, $(ue^1+ve^2)(ae_1+be_2)=ua+vb$.

Con esto, creo que quedó claro algo que quería explicar, no todo en matemáticas tiene visualización directa, pero casi todo si tiene visualización indirecta. No puedes visualizar directamente el espacio dual, pero si indirectamente vía un isomorfismo con un espacio que visualices (en mi caso y creo que puedo hablar por Weip también ).

Sobre funciones de $\mathbb R^m$ a $\mathbb R^n$, debes visualizarlas como criterios que asignan puntos del primer conjunto al segundo. Como paso siguiente, puedes analizar la continuidad y la diferenciabilidad, pero como te he comentado, esto es posterior al concepto de función entre conjuntos y necesita que los conjuntos sean espacios topológicos para hablar de continuidad y espacios afines normados completos para hablar de diferenciabilidad (y en particular esto lo cumple $\mathbb R^n$, pero hay espacios de dimensión infinita que también lo cumplen, y también puedes hablar de diferencial en espacios de dimensión infinita).

Sobre física, hay conceptos que pueden ser tediosos pero con visualización física, como el ejemplo de distribuciones continuas de materia, y otros que no tienen una visualización clara como la función lagrangiana. Respecto a esta última familia de conceptos, debes entender para qué sirven y por qué son útiles, no qué significan. Por ejemplo, si digo que para este conjunto de puntos del fibrado tangente (conjunto de puntos del espacio y velocidades de las partículas) la lagrangiana del sistema vale 2 Julios, ningún físico ni matemático sabría decirme qué sentido tiene que valga 2. Lo mismo vale para la energía, si digo que este sistema físico, formado por varias partículas que interactúan entre ellas, tiene 500 Julios de energía, ningún físico sabría decirme si es relevante o no, probablemente me preguntarían que con respecto a qué lo mido, cuál es mi referencia para la energía, y otros datos que les permitan comparar las variaciones de energía cinética con la energía potencial y utilizar la conservación de la energía para obtener resultados.
Con esto estoy queriendo decir que hay mucho concepto abstracto en física, que no es útil por lo valores que pueda dar como función, sino por las propiedades que tiene: en el caso de la energía, su conservación en sistemas cerrados, en el caso de la Lagrangiana, su uso para obtener las ecuaciones de movimiento. No hay por qué buscarles significado alguno más allá del que tienen, incluso verás que la función Lagrangiana es de las funciones más útiles en mecánica teórica.

Saludos