Ejercico fisica del estado solido

[Locke]

Bueno pues haber si me podeis ayudar con este ejercicio porque no acaba de salirme:

Un haz de rayos x de longitud de onda [texfe1ad79d46]\lambda =2.0 A[/texfe1ad79d46] incide sobre un cristal fcc de parametro reticular [texfe1ad79d46]a=3.0 A[/texfe1ad79d46] paralelo a la dirección [100]. ¿qué reflexiones (hkl) se obtendrán en un diagrama de difracción?

Gracias de antemano

P.D. Las "A" son amstrongs, que no se como se ponian en Tex :P

[Dramey]

La difracción sigue la ley de Bragg 2dsin(theta)=n Lambda. Tienes d (3A) y la longitud de onda, por lo que puedes calcular a que ángulos se produce la difracción

[pod]

Hace miles de años que no doy fisica del estado sólido :P Probablemente lo diga todo mal, pero vamos a intentar... Como indicaba dramey, tienes que aplicar la ley de brag,

$2 d_{lmn} \sin\theta_{lmn} = k \lambda \ ,$

donde $d_{lmn}$ es la distancia entre dos planos cualesquiera, y $\theta_{lmn}$ el ángulo que forman con el rayo incidente. Pero tienes que recorrer todos los planos posibles. Para hacerlo, tienes que buscar el vector director de cada plano, es decir, el vector perpendicular. Ese vector será una combinación lineal (entera) de los vectores de la base, que en el caso de una FCC seran,

$\vec a_1 = \frac{a}{2} ( 1 , 1, 0 ) \ ,$

$\vec a_2 = \frac{a}{2} ( 0 , 1, 1 ) \ ,$

$\vec a_3 = \frac{a}{2} ( 1 , 0, 1 ) \ ,$

asi, pues, el vector director más general sera,

$\vec{n} = l \vec a_1 + m \vec a_2 + n \vec a_3 = \frac{a}{2} (l+n, l+m, m+n) \ .$

La distancia es simplemente el módulo de este vector, por lo tanto substituyendo en la ley de bragg:


$2 \sqrt{ (l+m)^2 + (l+n)^2 + (m+n)^2 } \sin\theta = k \lambda \ .$

Desarrollando y aislando,

$\sin\theta = \frac{\lambda}{2 \sqrt{2} \sqrt{ \left(\frac l k \right)^2 + \left(\frac m k \right)^2 \left(\frac n k \right)^2 + \frac l k \frac n k + \frac l k \frac m k + \frac m k \frac n k }} \ ,$

ahora solo es cuestión de substituir todos los enteros que quieras. Fijate que, debido a que todos los índices aparecen divididos por k, habrá muchos ángulos repetidos: $(l,m,n)$ será equivalente a $(bl, bm, bn)$ con $b$ una constante entera .

[pod]

Hola de nuevo... he estado pensando, y lo que he hecho puede no estar bien :P Lo que ahí indica no depende en absoluto de la direccion de incidencia. El ángulo de incidencia, que será igual al de refracción en el plano, se puede obtener mediante el producto vectorial entre el vector director y el de incidencia (que es $\hat \imath$)

$| \hat \imath \times \vec n | = |\vec n| \sin\theta \ ,$

con lo que tenemos algo del estilo

$\sin\theta = \sqrt{ \frac{(l+m)^2 + (m+n)^2}{(l+n)^2 + (l+m)^2 + (m+n)^2 }} \ .$

Bueno, es pero que alguna de las dos formas esté bien (yo creo que la segunda se acerca más)... o almenos, que sirvan a alguien para dar con la solución :P Hace demasiados años que di estado sóldio.

[Dramey]

Dice que es un sistema cúbico, los planos (110),(101) y (011) son equivalentes

[pod]

Dice que es un sistema cúbico, los planos (110),(101) y (011) son equivalentes

Cierto, son equivalente si tenemos la simetria sota rotaciones completa. Pero el hecho de tener un rayo de luz en una dirección concreta rompe parte de esta simetria. En este caso, el grupo de simetria residual solo serán rotaciones de [texfcbff0b]\pi/2[/texfcbff0b] en el plano OYZ. Es decir, los planos (101) y (110) darán el mismo ángulo, pero el (011) dará un ángulo diferente. Lo puedes comprobar en la formula de mi post anterior (el segundo).

Todo esto no quiere decir que esta sea la forma correcta de hacer el problema...

[Locke]

Bueno pues esta es la solución, según he podido averiguar:

Primero hay que hallar el vector reciproco $\vec G_{hkl} =2\pi (h \vec a^*+k \vec b^* + l \vec c^*)$

Para ello escojemos unos vectores primitivos de la fcc, que son los que usaste tu, pod:

$\vec a_1 = \frac{a}{2} ( 1 , 1, 0 ) \ ,$

$\vec a_2 = \frac{a}{2} ( 0 , 1, 1 ) \ ,$

$\vec a_3 = \frac{a}{2} ( 1 , 0, 1 ) \ ,$

Y con las relaciones:

$\vec a^*=\frac{\vec b \times \vec c}{\vec a (\vec b \times \vec c)}$

$\vec b^*=\frac{\vec c \times \vec a}{\vec a (\vec b \times \vec c)}$

$\vec c^*=\frac{\vec a \times \vec b}{\vec a (\vec b \times \vec c)}$

Queda:

$\vec G_{hkl} =\frac{2 \pi}{a} (h-k+l, h+k-l, -h+k+l)$

Ademas sabiamos la dirección del rayo incidente: $\vec K_0 =\frac{2 \pi}{\lambda} (1, 0, 0)$

Si hacemos el calculo:

$\vec G_{hkl} \vec K_0 = \frac{4 \pi ^2}{a \lambda } (h-k+l)$

pero tambien:

$\vec G_{hkl} \vec K_0 = |\vec G_{hkl}| |\vec K_0| \cos\alpha$

igualando estas dos expresiones queda:

$(h-k+l) = \sqrt{(h-k+l)^2 + (h+k-l)^2 + (-h+k+l)^2 } \cos\alpha$

$\cos\alpha = \frac{(h-k+l)}{ \sqrt{(h-k+l)^2 + (h+k-l)^2 + (-h+k+l)^2 }}$

Como podemos ver en la imagen, este angulo $\alpha$ no es el que necesitamos pero podemos relacionarlos, ya que: $\frac{\pi}{2}=\theta + \alpha$

entonces $\cos\alpha = \sin\theta$



Sustituyendo en la ley de Bragg sabiendo que la distancia es:

$d_{hkl} = \frac{2 \pi}{|\vec G_{hkl}|}$

Asi sustituyendo las expresiones obtenidas, obtenemos finalmente la condicion que nos da los planos sobre los que es posible la difraccion, los valores (hkl) que laverifican, que es lo que pedia el problema.

$3(h-k+l) = (h-k+l)^2 + (h+k-l)^2 + (-h+k+l)^2$

Yo me equivocaba justo al principio porque escojia mal los vectores primarios, asi el vector reciproco me salia erroneo y no me salian los planos que debian. Bueno muchas gracias a todos por el interes!!!

[pod]

La red recíproca! Ya no me acordaba yo de todo eso! En fin, me hago viejo :P