Ecuación de Onda

[[Beto]]

Espero que me puedan ayudar ... tengo basicamente dos dudas:

1. Quisiera saber como se demuestra que:

$\psi_1(x,y,z,t)=f(\alpha x+\beta y+\gamma z-vt)$ y $\psi_2(x,y,z,t)=g(\alpha x+\beta y+\gamma z+vt)$

Donde las funciones $f$ y $g$ son doblemente diferenciables y además $\alpha,\beta$ y $\gamma$ son los cosenos directores de $\vec k=(k_x,k_y,k_z)$

Satisfacen la ecuación de una onda tridimencional. Notar en este problema que las funciones no son necesariamente armonicas.

2. Saber como se identifica una onda viajera por ejemplo en las siguientes expresiones:

- $\psi(y,t)=\exp-(a^2y^2+b^2t^2-2abty)$

- $\psi(z,t)=A\sin(az^2-bt^2)$

además de identificar cual es onda viajera tambien necesito saber como hago para saber su direccion de propagación y la velocidad de propagación.


Espero que puedan ayudarme a resolver esas dos dudas.

[pod]

Re: Ecuación de Onda

Espero que me puedan ayudar ... tengo basicamente dos dudas:

1. Quisiera saber como se demuestra que:

$\psi_1(x,y,z,t)=f(\alpha x+\beta y+\gamma z-vt)$ y $\psi_2(x,y,z,t)=g(\alpha x+\beta y+\gamma z+vt)$Donde las funciones $f$ y $g$ son doblemente diferenciables y además $\alpha,\beta$ y $\gamma$ son los cosenos directores de $\vec k=(k_x,k_y,k_z)$Satisfacen la ecuación de una onda tridimencional. Notar en este problema que las funciones no son necesariamente armonicas.

Simplemente utiliza la regla de la cadena. Voy a hacerte parcialmente el caso de $\psi_1(x,y,z,t)$, tu deberas acabarlo y hacer el otro caso. Por comodidad, defino $u = \alpha x+\beta y+\gamma z-vt$. Tenemos,

$\frac{\partial^2 \psi_1}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \psi_1}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \psi_1}{\partial z^2} = v^{-2} \frac{\partial^2 \psi_1}{\partial t^2} \ .$Cada una de las derivadas se evalúa así:
$\frac{\partial \psi_1}{\partial x} = \frac{\partial \psi_1}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} = \alpha f'(u) \ .$Lo haces con todas, dos veces, y te dará algo como

$(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) = v^2 v^{-2}\ ,$y insertando la definición de los cosenos directores tenemos $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 1$, demuestras que es verdad.

2. Saber como se identifica una onda viajera por ejemplo en las siguientes expresiones:

- $\psi(y,t)=\exp-(a^2y^2+b^2t^2-2abty)$- $\psi(z,t)=A\sin(az^2-bt^2)$además de identificar cual es onda viajera tambien necesito saber como hago para saber su direccion de propagación y la velocidad de propagación.


Espero que puedan ayudarme a resolver esas dos dudas.

Te haré el primer caso como ejemplo. Puedes utilizar

$a^2y^2+b^2t^2-2abty = (a y - b t )^2 \ ,$con lo que tenemos$f(u) = \exp(-u^2)$, $\alpha = \gamma = 0$, $\beta =$a y $v = b$. Con la definición de los cosenos directores sacas la dirección de propagación y tal.

[[Beto]]

Re: Ecuación de Onda

Cada una de las derivadas se evalúa así:
$<br /> \frac{\partial \psi_1}{\partial x} = \frac{\partial \psi_1}{\partial u} \frac{u}{\partial x} = \alpha f'(u) \ .$

Lo haces con todas, dos veces, y te dará algo como

$(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) = v^2 v^{-2}\ ,$

y insertando la definición de los cosenos directores tenemos $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 1$, demuestras que es verdad.

En esta parte que has escrito me quedan algunas dudas pues al realizar las derivadas parciales de segundo orden obtengo lo siguiente:

$\frac{\partial^2 \psi_1}{\partial x^2} = \alpha^2\frac{ \partial^2f(u)}{\partial x^2} \ .$ ....(1)

$\frac{\partial^2 \psi_1}{\partial y^2} = \beta^2\frac{ \partial^2f(u)}{\partial y^2} \ .$ ....(2)

[texfb]\frac{\partial^2 \psi_1}{\partial z^2} = \gamma^2\frac{ \partial^2f(u)}{\partial z^2} [/tex] ....(3)

Segun lo que yo observo se tiene que:

$\frac{ \partial^2f(u)}{\partial x^2}\neq\frac{ \partial^2f(u)}{\partial y^2}\neq\frac{ \partial^2f(u)}{\partial z^2}$

Entonces al momento de sumar las expresiones (1) (2) y (3) para obtener el Lapaciano no encuentro la forma de usar el dato de los cosenos directores pues al sumar las expresiones no puedo agruparlos por estar acompañados de las expresiones que digo anteriormente.

Es decir no encuentro la forma de hacer que la función "f" verifique la ecuación de onda tridimencional.

Por otro lado en la segunda parte del segundo problema no encuentro como hacer que el argumento de la funcion solo dependa de (k.r-vt), es decir de que forma puedo acomodar al termino que es $(az^2-bt^2)$

Cualquier ayuda con estas dudas las agradeceria en especial con la primera pregunta.

Saludos!!!

[pod]

Tienes que aplicar la regla de la cadena,

$\frac{\partial \psi_1}{\partial x} = \underbrace{\frac{\partial \psi_1}{\ \partial u}\ }_{f'(u)} \underbrace{\ \frac{\partial u}{\partial x}\ }_{\alpha} = \alpha f'(u) \ .$

(En el post original faltaba un signo de parcial, ya lo he corregido. Espero que no sea eso lo que te haya despistado.)

[[Beto]]

Gracias Pod ... jeje ... ya me di cuenta del error que estaba cometiendo (aunque no era lo que decias porque la verdad no me habia percatado de que te falto poner el signo de partial) :P era algo infantil a la hora de derivar (fijate cuando derive esta muy mal derivado) jeje... pero ya me salio el problema.

Ahora lo que me queda seguir preguntando es como hacer para acomodar el termido del segundo problema que postee pues no encuentro como hacer para encontrar la direccion de propagaciónde la onda en la funcion:

$\psi(z,t)=A\sin(az^2-bt^2)$

[pod]

Ahora lo que me queda seguir preguntando es como hacer para acomodar el termido del segundo problema que postee pues no encuentro como hacer para encontrar la direccion de propagaciónde la onda en la funcion:

$\psi(z,t)=A\sin(az^2-bt^2)$

Pues lo más óbvio será usar la fórmula de la diferencia de cuadrados (= suma por diferencia). Aunque la forma que tiene esta función, parece que al hacer las derivadas salgan variables fuera... así a primera vista no parece cumplir la ecuación de ondas. Estas seguro que es una solución?

[[Beto]]

En realidad la pregunta lo que dice es que primero debo de comprobar si esas funciones corresponden a ondas viajeras, segun tengo en tendido para eso la funcion tiene que ser doblemente diferenciable (lo cual se ve facilmente) y cumplir con la ecuación de onda , en todo caso me faltaria verificar eso.

En todo caso quisiera cambiar mi pregunta a la siguiente: ¿Cuando se dice que una onda es viajera? es decir que tiene que cumplirse para observarlo en su funcion de onda.

Gracias :P

[aLFRe]

En todo caso quisiera cambiar mi pregunta a la siguiente: ¿Cuando se dice que una onda es viajera? es decir que tiene que cumplirse para observarlo en su funcion de onda.

Creo recordar que la condición era :
$<br /> \frac{\partial \psi}{\partial t}= \pm v \psi<br />$
donde v era la velocidad de fase...
Saludos.

[pod]

En ese caso, ya has terminado, puesto que (b) no cumple la ecuación de ondas :P

Con "onda viajera", se refiere a que es una onda que se mueve, no es una onda estática (de esas que se producen por interferencia). Si puedes escribir la función de onda únicamente utilizando una de las funciones $f(u)$ o $g(u)$, entonces seguro que es viajera. Una función del tipo $f(u)+g(u')$ puede que sea estática, habría que verlo con detenimiento.

La condición que dice Alfre no puede ser la correcta, $\psi = A \sin(kx-vt)$ es sin lugar a dudas una onda viajera y no cumple con la ecuación. Puede que sea una derivada segunda, en cuyo caso sería un poco raro que cumpliera a la vez la ecuación de ondas, que también tiene derivada segunda. Pero podría ser una especie de condición de separación de variables?

[aLFRe]

La condición que dice Alfre no puede ser la correcta,
$\psi = A \sin(kx-vt)$ es sin lugar a dudas una onda viajera y no cumple con la ecuación.

Cierto... he estado desde que postee pensando que había metido la pata.
Os pido que me disculpeis a todos porque sólo mirando las dimensiones
se vé que mi expresión no es homogénea dimensionalmente...
Es una auténtica BURRADA...
perdón de nuevo...
¿y si probamos con algo así como ?
$<br /> \frac{\partial \psi}{\partial t}= \pm v \frac{\partial \psi}{\partial x}<br />$

Reedición... acabo de darme cuenta de que esto es para 1 dimensión espacial...
Para varias dimensiones
creo recordar que había que proyectar el gradiente
sobre la dirección de propagación...
Mañana escribo la expresiòn en 3D, si alguien no lo aclara antes.

Reedito (2) Mi v es la velocidad de fase...
o sea $v=\frac{\omega}{k}$
no la frecuencia de la onda... OJO...
creo entender de la lectura de posts previos
que la estáis usando para la frecuencia angular...
yo no... y por eso lo que he escrito estaba mal...

Un saludo.

[pod]

$<br /> \frac{\partial \psi}{\partial t}= \pm v \frac{\partial \psi}{\partial x}<br />$

Reedición... acabo de darme cuenta de que esto es para 1 dimensión espacial...
Para varias dimensiones
creo recordar que había que proyectar el gradiente
sobre la dirección de propagación...

La versión 3-d de eso es trivial:

$\frac{\partial \psi}{\partial t}= \pm \vec{v} \cdot \vec{\nabla}\psi \ .<br />$

La onda senosoidal $\psi = A \sin(\vec{k}\cdot \vec{r}-\omega t)$ la cumple si se tiene en cuenta que $\vec{k}= \frac{2\pi}{\lambda} \hat{v}$ y que $\vec{v}\cdot\hat{v} = v$.

Por lo tanto, esto tiene mejor pinta. Creo que se se analiza desde el punto de vista de ecuaciones diferenciales, lo que hace esta condición es asegurarse que la solución solo tiene una de las dos posibles soluciones, y no las dos a la vez, como ya había propuesto antes.

[nicco]

onda viajera

Hola. A ver, para saber si una onda es viajera o no, lo único que tienes que comprobar es que el argumento de la función que te dan sea del tipo:
$x\pm vt$.

La solución tipica de la ec. de ondas es la de D'Alambert:
$f(x,t) = f_1(x + vt) - f_2(x-vt)$,
una combinación lineal de una onda que se mueve en sentido positivo del eje $x$ en este caso, que es la que lleva por argumento $x - vt$, y otra que se mueve en sentido contrario ($f_1$).

Por tanto, en el problema concreto que planteas, para la función
$\Psi(y,t) = \exp\left ( -\left (a^2y^2+b^2t^2 - 2abty\right ) \right)<br />$
se puede escribir como:
$\psi(y,t) = \exp\left(-(ay - bt)^2\right)$
o también, multiplicando y diviendo el argumento de la función por
$a$:
$\psi(y,t) = \exp\left(-a(y - (b/a)t)^2\right)$
por lo que en este caso si se trata de una onda viajera, propagandose en la dirección del eje y en sentido positivo con velocidad de propagación
$v = b/a$.
Saludos.

[nicco]

Postdata: La otra función te la dejo a tí, pero se ve claramente .... puedes poner su argumento como $y\pm vt$? .... :lol:

[ArgenFisic]

Re: Ecuación de Onda

Tengo algo para ayudarle, pero la verdad ni idea como hacer en simbolos las derivadas parciales , si medecis como, te doy un ejemplo! pero sin simbolos va a ser muy tedioso entenderlo! y escribirlo xD

[aLFRe]

Re: Ecuación de Onda

Tengo algo para ayudarle, pero la verdad ni idea como hacer en simbolos las derivadas parciales , si medecis como, te doy un ejemplo! pero sin simbolos va a ser muy tedioso entenderlo! y escribirlo xD

Hasta donde yo sé, el foro está construido mediante phpBB.
Este sistema incorpora LatexRender que convierte expresiones $\LaTeX$
en imágenes.
LatexRender es una implementación/desarrollo del programa original $\TeX$,
creado por Donald E. Knuth en 1977.
Para escribir fórmulas hay que conocer algo de $\LaTeX$
lo cual se puede hacer leyendo algún libro o tutor
o consultando esta misma
página
A mi me fué muy útil "The not so short introduction to $\LaTeX2e$"
de Tobias Oetiker ( entre otros ). Yo usé la versión inglesa, pero
creo recordar que se había traducido al castellano.
Sobre su pregunta, para conseguir el símbolo de la derivada parcial
puede usar Vd. \partial. Para que el engine sepa que es $\TeX$
debe incluirse entre los delimitadores adecuados.

Un saludo.