1r ciclo ¿Cual es la velocidad mínima para enviar un satélite de la tierra a venus?

[carroza]

Hola.

Recientemente, en la sección de problemas de ingenio, se planteaba el problema de enviar una pelota de la tierra a la luna. https://forum.lawebdefisica.com/foru...egue-a-la-luna

El problema, con mas miga de lo que parece, se resolvía determinando la energía del punto de Lagrange L1, situado entre la tierra y la luna.

Al hilo de fosfanos y similares, surge el problema equivalente para ir de la tierra a venus. De hecho, se está planteando enviar minisatelites a venus, y parece relevante saber cuál es la velocidad mínima que tenemos que impartir a dichos satélites.

Partamos de un caso simplificado. Solo están el sol, la tierra y venus. Estas ultimas describen trayectorias circulares en torno al sol, y consideramos que la masa del sol es mucho más grande que las de la tierra y venus.

Se os ocurre una solucion elegante a este problema? Intuyo que un punto de partida es tomar un sistema de referencia helioestacionario para el satélite (es decir, que rota en torno al sol con la velocidad necesaria para compensar la atracción gravitatoria del sol) y ver sobre ese sistema el efecto de la tierra y venus.

Un saludo

[Richard R Richard]

Hola carroza, tengo varios argumentos, para ver por cual va la cosa.

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1)como primera medida podemos pensar una trayectoria de Hohmann https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%93...cia_de_Hohmann respecto el sol , pero claro para esto es necesario 2 impulsos o $\Delta V$ , y aún así hay que librarse gravitacionalmente de La tierra( escapar), y no estrellase en Venus.

Edito Hoy he podido hacer el calculo , el primer Delta V tiene que ser de 16.8km/s para llevar al satélite a una órbita elíptica con velocidad de apoastro de 12.7 km/s así acelera hasta llegar a la orbita de venus a una velocidad de perihelio de 69.6km/s para lo cual hay que frenarlo 34.6 km/s para llegar a la velocidad orbital de 35km/s.$\sum \Delta V=16.8+34.6=51.4km/s<br />$

2)la diferencia de velocidades orbitales es pequeña unos 7km/s , pero añadir o quitar esa velocidad a la velocidad de escape terrestre , no garantiza que la órbita resultante cruce la órbita de venus, en algun momento(edito . no lo hace no sirve plantearlo así)

3)Darle 29.5km/s en contra de la órbita terrestre, para que deje de girar y caiga radial mente hacia el sol, sería efectivo pero no será la velocidad mínima, y a la vez se estrellaría sobre Venus.. edito cayendo radialmente al sol acelera a 18.4km/s por lo que impacta en mercurio que viaja a35km/s con una suma vectoria de modulo 39.5km/s .$\sum \Delta V=29.5+39.5=69km/s$ por eso es mejor la 1





por que debe se un valor intermedio a esos

4)Podemos pensar en dar la mitad de esos 7km/s de órbita en dirección tangencial y un impulso radial calculado para llegar a la distancia donde el sol y venus juntos lo atraen mas que la tierra

independizando de la masa

$\dfrac{GM_s}{R^2}+\dfrac{GM_v}{(R-Rv)^2}-\dfrac{GM_t}{(R-Rt)^2}=0<br />$

R_v y R_t son radios orbitales de la tierra y venus respecto del sol y R resultara por despeje la distancia al sol del punto en equilibrio de fuerzas.

y calculamos la velocidad a partir energía necesaria para alejarse de la tierra

$\dfrac{GM_t}{(R-Rt)}=\frac 12 V_r^2$

yo creo que con eso el objeto queda en órbita de venus, no va a caer de inmediato sobre el, pero no tiene la velocidad de escape respecto a venus. También habrá que escoger, el momento de lanzamiento para que llegue justo, al radio R el en momento en que los tres astros y el satélite estén linea recta, pero claro ese tiempo es suficiente para que la trayectoria no sea una recta y este calculo sea muy chapucero...

solo doy el delta V de escape 11.1km/s en un angulo que permita reducir la velocidad perpendicular 3.5km/s pensaba que era suficiente, pero no es cierto ya que para cruzar la órbita de Venus se requieren frenar mas de 16.8km/s como calcule en 1.


5) Este si lo veo correcto, es el problema de los 4 cuerpos. por método numérico

tienes 3 objetos con potencial gravitatorio, y la partícula de prueba

Sea S el sol, V Venus T tierra Partícula

Supongamos todo el movimiento en un plano determinado en función del tiempo $x,y, t$

El sistema sería heliocéntrico, donde es decir

$x_S=(0,0)$.
$v_S=(0,0)$
$a_S=(0,0)$

para Venus

$\theta_V=\omega_V t$
$x_V=R_V \cos \theta_V$.
$y_V=R_V \sin \theta_V$.
$vx_V=-R_V\omega_V\sin \theta_V$
$vy_V=R_V\omega_V\cos \theta_V$
$ax_V=-R_V\omega_V^2 \cos \theta_V$.
$ay_V=-R_V\omega_V^2 \sin \theta_V$.



para Tierra

$\theta_T=\omega_T t+\theta_o$
$x_T=R_T \cos \theta_T$.
$y_T=R_T \sin \theta_T$.
$vx_T=-R_T\omega_T\sin \theta_T$
$vy_T=R_T\omega_T\cos \theta_T$
$ax_T=-R_T\omega_T^2 \cos \theta_T$.
$ay_T=-R_T\omega_T^2 \sin \theta_T$.


para la partícula al inicio del tiempo

$x_P=R_T \cos \theta_T$.
$y_P=R_T \sin \theta_T$.
$vx_P=-R_T\omega_T\sin \theta_T +Vx0$
$vy_P=R_T\omega_T\cos \theta_T+Vy0$


$ax_P=-\dfrac{GM_Sx_P}{(x_P^2+y_P^2)^{\frac32}}-\dfrac{GM_V(x_P-x_V)}{((x_P-x_V)^2+(y_P-y_V)^2)^{\frac32}}-\dfrac{GM_T(x_P-x_T)}{((x_P-x_T)^2+(y_P-y_T)^2)^{\frac32}}$.

$ay_P=-\dfrac{GM_Sy_P}{(x_P^2+y_P^2)^{\frac32}}-\dfrac{GM_V(y_P-y_V)}{((x_P-x_V)^2+(y_P-y_V)^2)^{\frac32}}-\dfrac{GM_T(y_P-y_T)}{((x_P-x_T)^2+(y_P-y_T)^2)^{\frac32}}$.

iteramos para intervalos de tiempo $\Delta t$


$t=t+\Delta t$
$\theta_V=\omega_V t$
$\theta_T=\omega_V t+\theta_o$
$x_P=x_P+vx_P\Delta t$.
$y_P=y_P+vy_P\Delta t$.
$vx_P=vx_P+ax_P\Delta t$
$vy_P=vy_P+ay_P\Delta t$
$ax_P=-\dfrac{GM_Sx_P}{(x_P^2+y_P^2)^{\frac32}}-\dfrac{GM_V(x_P-x_V)}{((x_P-x_V)^2+(y_P-y_V)^2)^{\frac32}}-\dfrac{GM_T(x_P-x_T)}{((x_P-x_T)^2+(y_P-y_T)^2)^{\frac32}}$.
$ay_P=-\dfrac{GM_Sy_P}{(x_P^2+y_P^2)^{\frac32}}-\dfrac{GM_V(y_P-y_V)}{((x_P-x_V)^2+(y_P-y_V)^2)^{\frac32}}-\dfrac{GM_T(y_P-y_T)}{((x_P-x_T)^2+(y_P-y_T)^2)^{\frac32}}$.

luego hay que evaluar cual es la combinación $Vx0 , Vy0$ cuyo modulo $v=\sqrt{Vx0^2+ Vy0^2}$ logre que la posición de la partícula este en el interior de Venus manejando el valor de la diferencia a de posiciones por debajo del radio de venus...

la combinación con modulo mínimo es la buscada
el tema es usar bien la mayor cantidad de decimales posibles para eliminar errores en redondeos

aquí hay que hacer simulaciones de prueba y error, para distintas velocidades de lanzamiento y diferentes ángulos respecto al sol entre venus y la tierra.

[carroza]

Hola, Richard. Gracias por contestar.

Esto lo planteé como una duda que tengo, no como un problema de ingenio, así que no voy a poner las respuestas ocultas.

En tu respuesta planteas las ecuaciones newtonianas, que permitirían la resolución numérica. No obstante, lo que yo pretendía es alguna intuición sobre la magnitud de la velocidad que nos permite pasar de la tierra a venus. Está claro que se tenemos la velocidad de escape, podemos ir, no sólo a venus, sino a cualquier planeta (al menos a los planetas más interiores que la tierra del sistema solar).

Me parece muy interesante tu referencia a las orbitas de transferencia de Hohman. Esto sería la solución del problema, si pudieramos ignorar las masas de la Tierra y Venus. Nos daría el cambio de velocidad necesaria para pasar de una orbita en torno al sol como la que ocupa la tierra, a una orbita en torno al sol como la que ocupa venus.

Tal como yo me plantearía el problema, tenemos un satélite, que se mueve en un plano, con el sol en el centro con unas coordenadas polares $\vec r \equiv (r, \theta)$. La tierra tiene unas coordenadas polares $\vec r_T \equiv (R_T, \omega_T t)$, y venus $\vec r_v \equiv (R_v, \omega_v t)$, donde, por las leyes de Kepler,
$\omega_T^2 R_T^3 = \omega_v^2 R_v^3 = G M_S$.

Tendremos un lagrangiano, dependiente del tiempo, dado por L = T-V, donde $T = 1/2 m {\dot r}^2 +1/2 m r^2 {\dot \theta}^2$. la energía potencial V, función del tiempo, será
$V = -{G M_S m \over r} - { G M_T m \over |\vec r - \vec r_T|} - { G M_v m \over |\vec r - \vec r_v|}$

A partir de aqui, me gustaría poder encontrar un sistema de referencia en rotación, cuya velocidad angular $\omega(r, t)$ podría depender de r y posiblemente de t, para poder expresar $\theta = \int_0^t \omega(r, t) dt + \phi$, de forma que la expresión de $\omega(r, t)$ pudiera cancelar gran parte de las interacciones en el lagrangiano, y en las nuevas variables $r, \phi$ la evolución fuerra más transparente.

Soy consciente que el problema que planteo no tiene constantes de movimiento (no se conserva la energía mecáncia del satélite ni su momento angular), y el problema clásico probablemente sea caótico. Lo que me gustaría es entender si hay alguna expresión que permita obtener una solución aproximada, en algun límite razonable. Como dije antes, si se ignoran las masas de venus y la tierra, el problema es integrable, y la solución son las orbitas de Hohman. La cosa sería ir más allá.

Un saludo

[carroza]

Hola.

Hay una cuestión que resulta muy relevante. Son los puntos de Lagrange https://es.wikipedia.org/wiki/Puntos_de_Lagrange . En concreto, los pintos L1 y L2 del sistema sol-tierra determinanla "esfera de Hill", que es la zona en la que domina la gravedad de la tierra sobre la del sol, en el sentido que los objetos orbitan en torno a la tierra, y no al sol. Echando cuentas, los puntos L1 y L2 están a 0.99 y 1.01 UA del sol , a ambos lados de la tierra, que por definición está a 1 UA.

Podemos decir que la forma más "suave" de salir de la orbita de la tierra y pasar a la del sol, es poner al satélite en reposo con respecto al punto L1 (o al L2).

Venus tiene sus propios puntos de Lagrange con respecto al sol. Venus está a 0.720 AU, y sus pintos de Lagrange LV1 y LV2 estarán a 0.713 y 0.727 AU.

Entiendo que una forma "suave" de ir de la tierra a venus sería ir primero de la superficie dela tierra al punto L1 (0.99 UA), a partir de ahi, el satélite, aproximadamente, entra en orbita elíptica en torno al sol (ya que su velocidad angular es la misma que la de la tierra, y menor de la de una orbita circilar en L1). L1 sería, por tanto, el afelio del satélite. El satélite, describe su trayectoria hasta llegar al perihelio, con minima distancia al sol, pero aun lejos de Venus. llamenos P1 a este punto. Ahora, usamos las trayectorias de Hohman, para llegar a un punto, aún más interior P2. Desde P2, el satelite sigue una trayectoria elíptica, hasta empalmar con el punto de lagrange exterior de venus LV2, que está a 0.727 AU, y desde ahi, donde ya domina la gravedad venusiana, caemos sobre venus.

Un saludo

[Alriga]

... el punto de Lagrange exterior de Venus LV2, que está a 0.727 AU, y desde ahí, donde ya domina la gravedad venusiana, caemos sobre Venus...

Observa un detalle, penetrar en el interior de la Esfera de Hill de Venus no implica caer sobre Venus. Estar en el interior de la esfera de Hill lo único que garantiza es que cualquier órbita elíptica con apoastro menor que el radio de la esfera de Hill, es una órbita estable. (El periastro debe ser lo suficientemente alto como para que no haya rozamiento atmosférico que desestabilice la órbita)

La órbita de la Luna, (Ap=405 400 km) está en el interior de la esfera de Hill de la Tierra (R~1 500 000 km) y afortunadamente no se espera que a corto plazo la Luna nos caiga en la cabeza

Saludos.

[carroza]

.... y, como no hay nada nuevo bajo el sol, he encontrado un artículo en el que aplican esto a las trayectorias de la tierra a las trayectorias para ir de la tierra a marte
https://link.springer.com/article/10...509-014-2012-x

saludos

[carroza]

Observa un detalle, penetrar en el interior de la Esfera de Hill de Venus no implica caer sobre Venus. Estar en el interior de la esfera de Hill lo único que garantiza es que cualquier órbita elíptica con apoastro menor que el radio de la esfera de Hill, es una órbita estable. (El periastro debe ser lo suficientemente alto como para que no haya rozamiento atmosférico que desestabilice la órbita)

La órbita de la Luna, (Ap=405 400 km) está en el interior de la esfera de Hill de la Tierra (R~1 500 000 km) y afortunadamente no se espera que a corto plazo la Luna nos caiga en la cabeza

Saludos.

Cierto. Lo que quise indicar, de forma poco precisa, es que una vez en la esfera de Hill, ya puedes maniobrar "facilmente" para ir a la superficie, o a la orbita que quieras, de la tierra o venus .

Un saludo

[Alriga]

.... y, como no hay nada nuevo bajo el sol, he encontrado un artículo en el que aplican esto a las trayectorias de la tierra a las trayectorias para ir de la tierra a marte
https://link.springer.com/article/10...509-014-2012-x...

Aquí se puede leer el texto entero gratis: Mars interplanetary trajectory design via Lagrangian points

Posiblemente también te sea de interés Earth--Mars Transfers with Ballistic Capture. (NOTA: en este paper "SOI" significa Sphere Of Influence concepto similar al de Esfera de Hill pero con matices)

Otra cosa, he recordado que sobre la Órbita de Transferencia de Hohmann, participé en un hilo hace menos de un año: Energía necesaria para pasar de órbita circular a elíptica

Saludos.

[carroza]

Gracias, Alriga. Interesantes las trayectorias balísticas, inestables pero de larga duración.

Un video https://www.youtube.com/watch?v=qIVe_xEv6zQ sobre el "restricted three body problem". Esencialmente, un satélite de masa despreciable, moviendose en el plano de dos objetos masivos con trayectorias circulares p. ej. Tierra-Luna, o sol-tierra.

Un saludo

[Richard R Richard]

Me acorde de un hilo de años https://forum.lawebdefisica.com/foru...-los-3-cuerpos

por si quieres jugar un poco con herremientas de simulacion similares a la del video, tienes el siguiente link que me paso Alriga hace tiempo aquì en el foro https://phet.colorado.edu/sims/my-so...system_en.html
y este http://www.stefanom.org/spc/

Cuando ande con tiempo , expongo alguna idea mas para calcular ese minimo...

[Richard R Richard]

Un nuevo intento por energías, voy de apoco, avanzando, incorporando cuerpos e interaccionesío de la idea me indicas
si hubiera un unico cuerpo partimos de la Tierra t desde la superficie terrestre. la velocidad de escape la podemos calcular por un balance energético, la velocidad final es nula a una distancia infinita

$\dfrac12V^2-\dfrac{GM_t}{R_t}=0\quad \to\quad V=\sqrt{\dfrac{2GM_t}{R_t}}$

pero si vamos a un punto R mas cercano que el infinito , el potencial gravitatorio no es nulo

$\dfrac12V^2-\dfrac{GM_t}{R_t}=-\dfrac{GM_t}{R}$

Si ahora tenemos 2 cuerpos y calculamos la energía para ir de una superficie a otra , supongamos ahora índices v de Venus

partimos de un punto donde la energía mecánica es

$\dfrac12V^2-\dfrac{GM_t}{R_t}+\dfrac{GM_v}{R_{st}-R_{sv}-R_v}=E_m$

la distancia tierra sol $R_{st}$ y sol venus $R_{sv}$ son varios ordenes mayor que el propio radio de venus $R_v$ y del de la tierra $R_t$ por lo que mucho error no genera quitarlo de la ecuación

El punto final del viaje será

$-\dfrac{GM_v}{R_t}+\dfrac{GM_t}{R_{st}-R_{sv}-R_t}=E_m$

igualando $-\dfrac{GM_v}{R_t}+\dfrac{GM_t}{R_{st}-R_{sv}-R_t}=\dfrac12V^2-\dfrac{GM_t}{R_t}+\dfrac{GM_v}{R_{st}-R_{sv}-R_v}$

pero ahora tenemos tres cuerpos incluyendo al sol, en linea recta y despreciando radios , la ecuacion cambia a

$\dfrac12V^2-\dfrac{GM_t}{R_t}+\dfrac{GM_v}{R_{st}-R_{sv}}-\dfrac{GM_s}{R_{st}}=-\dfrac{GM_v}{R_t}+\dfrac{GM_t}{R_{st}-R_{sv}}-\dfrac{GM_s}{R_{sv}}$

Pero claro esto sería en un sistema ideal y carente de momento angular del equilibrio de fuerzas gravitacionales con las centrípetas.

por lo que podemos expresar lo mismo pero ahora teniendo en cuenta la velocidades orbitales de rotación, y el angulo de lanzamiento recto a la tangente de la órbita.


$\dfrac12V^2\sin^2\theta+\dfrac12(V_{ot}-V\cos\theta)^2-\dfrac{GM_t}{R_t}+\dfrac{GM_v}{R_{st}-R_{sv}}-\dfrac{GM_s}{R_{st}}=\dfrac12V_{ov}^2-\dfrac{GM_v}{R_t}+\dfrac{GM_t}{R_{st}-R_{sv}}-\dfrac{GM_s}{R_{sv}}$

pero claro, esto es una burda aproximación ya que si la velocidad V es del orden de las decenas de kilómetros por segundo, el tiempo de viaje Tierra Venus lleva en el orden de un mes solo en recorrer la distancia radial, y en ese tiempo Venus hizo un cuarto de órbita respecto del sol y la tierra un doceavo, por lo que la distancia tierra venus siempre es mayor a $(R_{st}-R_{sv})$, por lo que esos potenciales son menores y aparte dirección variable en el tiempo.

De cualquier forma el calculo hecho a así implica , con energía cinetica nula sobre la superficie de Venus en la practica sea tan realista, ... paso por alto que no habría forma que que exceso de velocidad del satélite sea frenado por la gravedad del propio venus. Por eso siempre hay dos Delta v uno de escape y uno de amerizaje.


osea siempre queda una cuadratica a resolver ,creo la velocidad minima sería aquella que haga nulo el discriminante.

[carroza]

Hola, Richard.

Un comentario a tu desarrollo: Los objetos masivos no están fijos en el espacio. Se están moviendo. Eso hace que, para pasar de uno a otro, tengas que tener en cuenta no sólo sus energías gravitatorias, sino también su velocidad.

Para el caso de dos cuerpos masivos, en movimiento circular uno en torno al otro, puedes tomar un sistema de referencia no inercial en el que los cuerpos masivos están quietos, y tenemos una superficie de un potencial efectivo, en el que aparecen los puntos de Lagrange.

Para tres cuerpos masivos (tierra, venus y sol), no es posible hacer esto en general, pero según parece podemos aproximar y pasar de la orbita de la tierra a la del sol, y luego de la del sol a la de venus.

Un saludo y gracias por compartir.

[Richard R Richard]

Un comentario a tu desarrollo: Los objetos masivos no están fijos en el espacio. Se están moviendo. Eso hace que, para pasar de uno a otro, tengas que tener en cuenta no sólo sus energías gravitatorias, sino también su velocidad.

He revisado, pero creo que lo hice, que considere que tierra y venus se mueven , fíjate que la ultima formula , aparte de incluir las velocidades de lanzamiento, están incluidas las $V_{ot}$ y $V_{ov}$ que son las velocidades orbitales medias de tierra y venus respectivamente.

Con el modelo numérico , he probado que con lanzar a 16.222km/s he llegado a impactar la superficie de venus.

Pero también revise el proceso que creo que es el que me has dado a entender que usaría menos energía.

lanzamiento tierra acelerando hasta L1 de tierra $\Delta v=11159m/s$
dos frenazos de Orbita Hohmann hasta L2 venus $\Delta v_{afelio}=4523m/s$ y $\Delta v_{perihelio}=5267m/s$
luego de L_2 desequilibrando y llevando a superficie hay que frenar$\Delta v=10328m/s$

todo da 31277 m/s de Delta V total

si en el modelo matemático considerara frenar, entonces obviamente gastaría mas de 16222m/s de Delta V

pero lo que no esta claro tampoco en estas teorías como frenar exactamente en L1 o L2 porque no hay órbita que lleve directamente a L1 quede allí sin ningún Delta V de frenado... . una cosa es la teoría hay que subir hasta "allí" y se consume esta cantidad energía, y otra es como afecta la gravedad del sol y venus a esa órbita y los tiempos que toma en llegar a posición, y como paramos en L1 exactamente.

Tampoco estamos teniendo en cuenta la velocidad superficial de rotación de donde parte el supuesto satélite solo proponemos órbitas balísticas o de caída libre luego de un impulso instantáneo.

[carroza]

Richard, el problema es que aquí la energía mecánica del satélite no se conserva. Las fuerzas que siente el satélite, y por tanto su lagrangiano, son explicitamente dependientes del tiempo. Por tanto, no puedes igualar las energías mecánicas al principio y al final del viaje.

Sin embargo, cuando consideras el satélite moviendose en el campo gravitatorio de dos objetos masivos, aunque sigue sin conservarse la energía mecánica del satélite, si hay un invariante, el invariante de Jacobi, que se conserva, y permite determinar los puntos de Lagrange.

No sé como has realizado el cálculo numérico. ¿Has integrado las posiciones x,y del satélite, para todos los instantes de tiempo, sometido a las fuerzas de sol, tierra y venus? Si es así te felicito, pero la trayectoria que calculas sería caótica, así que pequeñas desviaciones al principio de la trayectoria pueden mandarte a sitios muy diferentes al final. Además, puedes comprobar que la energía mecánica no se conserva.

Un saludo, y gracias por tu interés.

PD: En los cálculos que has hecho de la velocidad para alcanzar L1 desde la superficie de la tierra, ¿los has hecho considerando la conservación de la energía mecánica? Si es así no serían correctos. Hay que hacerlos considerando la conservación del invariante de Jacobi, que contiene un término centrífugo, medido desde el CM del sol y la tierra.

[Richard R Richard]

carroza lo que explicas me suena muy confuso, con todo respeto, voy a leer mas de la cuenta para responderte mas satisfactoriamente si es que sigue despertando interés,
Una primera lectura del invariante de Jacobi me dice que es la suma de la energía cinetica, potencial y la rotatoria (proveniente del momento angular), eso en resumidas cuentas es el potencial efectivo, mas la cinetica radial, por lo que también es una conservación , no muy alejado a lo que como dije muuuuuuy chapuceramente plantee,*(con muchas idealizaciones) ya que existen detalles que hacen efectivamente al modelo caótico.

Claro, me olvide de decir creo que plantee que la diferencia angular entre tierra y venus al momento de partir era 45º de atraso de venus por sobre la tierra, en el sentido de rotación,, elegir otro angulo, u otro punto de la superficie de la tierra y dirección, cambian el modelo de factible a imposible, con menos de 1m/s de diferencia en la velocidad inicial.


Y si , en realidad hice dos modelos, uno teórico, donde obtuve por sumatoria 31000m/s y este es al que le ves los inconvenientes teóricos.
en ese modelo utilice el calculo de la energía cinetica básico para llegar a L1 sin la influencia de Venus, y sin considerar que tierra y sol rotan en un CM (algo que ya me marcaste en mi blog) que no esta en el centro del sol,


Posiblemente lo que no he tenido en cuenta es que hay que agregar mas términos de compensación de energía cinetica para cada uno de los sistemas, utilizando el principio de superposición...pero será que me lo aclare, para otro fin de semana lluvioso.

Y si ...plantee otro modelo numérico netamente programable,con una resolución de ecuaciones diferenciales y cinemáticas, con paso segundo a segundo, donde claro tengo el problema de la precisión de los dígitos de un ordenador normal, no tengo un supercomputador de la NASA. Lo que me deja tranquilo es que no solo en una única velocidad se llega al objetivo, sino que hay un pequeño rango de valores , que permiten hacer blanco, lo que deja ver que no es una casualidad donde los errores de truncamiento me han enviado....

Lo bueno de todo estos "desafíos" es que uno le da al coco, y cada vez puede valorar mas lo que otros hacen como trabajo diario...

Lo que no digiero todavía es tu frase "no conserva la energía mecánica" ya que luego de aplicarse el Delta v para la trayectoria, no hay forma que la energía mecánica del sistema no se conserve, hasta aplicar otro Delta v..




*Las idealizaciones son
Planetas en un mismo plano,
Despreciamos rozamiento
Despreciamos velocidad angular y tangencial de la superficie de lanzamiento y llegada
Sol estático y el sistema tiene CM en su centro.
Los demás planetas no tuercen las trayectoria, sobre todo Júpiter y Mercurio.


Revisando el hilo encuentro que debí expresar esta ecuación de otra manera, algo similar a lo que escribiste en el mensaje #3

$\cancel{\dfrac12V^2\sin^2\theta+\dfrac12(V_{ot}-V\cos\theta)^2-\dfrac{GM_t}{R_t}+\dfrac{GM_v}{R_{st}-R_{sv}}-\dfrac{GM_s}{R_{st}}=\dfrac12V_{ov}^2-\dfrac{GM_v}{R_t}+\dfrac{GM_t}{R_{st}-R_{sv}}-\dfrac{GM_s}{R_{sv}}}$

no deja ver bien la idea de fondo, porque partí de puntos sobre una misma recta cuando en realidad tengo que llevar esto a un espacio de mas dimensiones, lo que debi buscar es un sistema de referencia unico para expresar cada potencial. para un punto $(R,\theta,\phi)$ perteneciente a la trayectoria Tierra Venus tiene que tener la misma energía mecánica que

$\dfrac12\Delta V^2\sin^2\theta+\dfrac12(V_{ot}-\Delta V\cos\theta)^2-\dfrac{GM_t}{|(\vec R_t+\vec R_{st})-\vec R_{st}|}-\dfrac{GM_v}{|(\vec R_v+\vec R_{sv})-\vec R_{st}|}-\,\dfrac{GM_s}{|R_{st}|}=\dfrac12V_{ov}^2-\dfrac{GM_v}{|(\vec R_v+\vec R_{sv})-\vec R_{st}|}-\dfrac{GM_t}{|(\vec R_v+\vec R_{sv})-\vec R_{sv}|}-\dfrac{GM_s}{|\vec R_{sv}|}$

Esta última ecuación refleja claramente que el satélite para acercarse a una de cualquiera de las tres masas debe aumentar la energía cinetica.

la derivada implícita de esta ecuación respecto al angulo$\theta$ permite calcular al igualar a $0 =\dfrac{dV}{d \theta}<br />$ cual el angulo de lanzamiento que minimiza el modulo de la velocidad...

[carroza]

Hola, Richard.

Intentaré explicarme mejor. Adjunto una referencia del "restricted three body problem". https://ocw.mit.edu/courses/aeronaut...7F09_Lec18.pdf

Fijate que el "potencial" que se cita en la ecuación 14 (suma del potencial gravitatorio, y el "potencial" centrífugo, $-\Omega^2 r^2/2$), tal como se indica en la discusión posterior a la ecuación 14, no es un "potencial" que nos permita resolver las ecuaciones de movimiento, sino un "pseudo-potencial", que junto con la energía cinética, medida en el sistema rotante, da el invariante de Jacobi, no la energía mecánica. Si quisiéramos expresar la energía mecánica, a partir de las coordenadas en el sistema rotante, tendríamos la suma del potencial gravitatorio, más la energía cinética vista desde el sistema rotante, más una energía centrífuga $+\Omega^2 r^2/2$, más un término de Coriolis.

Insisto en un tema muy importante: en este problema (bien sea sol, tierra y satélite, o más aún sol, tierra, venus y satélite), la energía mecánica del satélite no se conserva. Y esto es porque la interacción entre el satélite y cualquier planeta, depende explicitamente del tiempo. Por tanto, el hamiltoniano depende del tiempo. Por tanto, no puedes escribir una ecuación en la que la suma de la energía cinética y la energía potencial, cuando el satélite está las proximidades de la tierra, sea igual a la suma de la energía cinética y la energía potencial, cuando el satélite está en las proximidades de Venus.

Enhorabuena por tu programa que integra las ecuaciones de movimiento, Quizás, para otro fin de semana de lluvia, podrías compartir con nosotros algunos resultados, de forma que pudiéramos ver algunas trayectorias del satélite, y ver expícitamente si se conserva o no la energía mecánica. Se me ocurre que, a efectos de comprobar la precisión del programa, podría considerarse primero el caso del satélite con el sol, para comprobar las orbitas de Hohmann, luego satélite más sol más tierra (para comprobar la velocidad necesaria para llegar al punto de lagrange L1), y finalmente satelite más sol más tierra.

Un saludo

[Richard R Richard]

Me comprometo a darle una interfaz visual mas amigable y lo comparto, codigo y todo, si puedo un punto exe para aquellos, que no puedan compilar visual
basic...

He encarado Python de lleno , pero me cuesta todavia para pasarlo a ese lenguaje mas de "jovenes".

Me has clavado la daga de la duda, no entiendo porque ,ahora incluyes coriolis y centrifuga, que son aceleraciones ficticias, para un sistema de referencia con origen en tierra o en venus, pero no en el sol como yo lo he planteado. que no rota pues el CM del sistema esta en el centro del sol y es por eso que considero que las velocidades orbitales son las velocidades a las que debo arribar,...

bueno pasarè lectura por ell paper a ver si me entero o me refresco