¿Cual es la velocidad mínima para enviar un satélite de la tierra a venus?

[Richard R Richard]

He echado un ojo al paper, y creo que que ese potencial es un pseudopotencial porque pone el origen del sistema de referencia solidario a un cuerpo que describe un movimiento circular , mas en general lo pone sobre un SRnI, pero lo que yo plantee hasta ahora es el mismo sistema pero visto desde un SRI en el sol, y la velocidad que trato de calcular es una velocidad relativa a la velocidad orbital de tierra respecto del sol.

Efectivamente omega es la frecuencia angular de rotación sobre el CM de cada masa o planeta, pero no recuerdo si expliqué que despreciaba eso, al centrar el CM ubicado en el centro del Sol, y considerar las frecuencias angulares de Tierra y Venus como el cociente de su velocidad orbital y el radio de la órbita....(Mas abajo escribo eso de otro modo, dejando al sol orbitando un CM común junto a la Tierra y Venus)

En definitiva el paper hace el mismo cálculo, pero en un SRnI cuando yo lo hago en un SRI, por eso no hay centrifuga, ni coriolis, aquí la resultante de sumatoria de fuerza de gravedad es la masa por aceleracion por la segunda ley de Newton directamente, y al trabajar en un único plano tenemos un sistema de 2x2 que resolver.

Y claro visto desde cualquier SRnI, el aporte energético, de los otros cuerpos masivos, cambian la energía cinetica del satélite vista desde tierra, por lo que no habría conservación,como creo entender es lo que me explicas.

Pero cuando sumas todos los potenciales, respecto de un mismo SRI y le sumas la energía cinetica, tanto la proveniente del momento angular(velocidad orbital) como la de la velocidad radial, responsable del cambio radio orbital respecto del sol y al no haber fuerzas exteriores en un sistema central conservativo la energía mecánica del satélite se conserva .

Vamos con un ejemplo tosco a ver si me explico, si venus y tierra tuvieran la misma masa, y radio, El delta v solo sera el necesario para aumentar la velocidad orbital, desde la que tiene al acompañar a la tierra hasta la que tiene venus y por aumentar el modulo del potencial gravitatorio respecto del sol, pues el radio orbital es diferente.

Lo que me explicas sobre la dependencia del tiempo , es claro que si lanzamos cuando venus esta en transito, llevara una velocidad para alcanzarlo distinta que si esta en oposición., por lo tanto la elección del angulo de tiro y el momento propicio angularmente entre Tierra y Venus respecto del sol, puedes consumir distinto Delta V... el mínimo entiendo es alcanzado cuando es lanzado sin velocidad radial, y alcanza a venus del mismo modo. tangencialmente sobre su órbita circular. El mínimo no implica ser el corto temporalmente, por lo que se puede elegir otra órbita en función del coste temporal de mantener la misión, vs coste de combustible, peso, tamaño etc.


A la espera que alguien mas se anime a aportar lo suyo

he entrado en

En http://ricabib.cab.cnea.gov.ar/696/1/mecanica_2.pdf


Por allí dice "Un potencial con simetría cilíndrica" donde escribe

$\mathcal L =\dfrac12 m(\dot r^2+r^2\dot \theta^2+\dot z^2)-U(r)$

llevandolo al plano

$$\mathcal L =\dfrac12 m(\dot r^2+r^2\dot \theta^2)-\dst \sum U(r_i)$$

y entiendo que

$\frac12 m r^2\dot \theta^2\equiv \dfrac{L^2}{2mr^2}$

de donde se ve la relación con el momento angular y como decía antes la ecuación 1 refleja el potencial efectivo, sobre el sistema de referencia escogido.

Luego haciendo

$\dfrac{d}{dt} \left ( \dfrac{\partial \mathcal L}{\partial \dot {r} } \right ) - \dfrac{\partial \mathcal L}{\partial r} = 0$

$\dfrac{d}{dt} \left ( \dfrac{\partial \mathcal L}{\partial \dot {\theta} } \right ) - \dfrac{\partial \mathcal L}{\partial \theta} = 0$

podemos llegar a las ecuaciones de movimiento...que se resuelve como un problema de valor inicial, es decir las condiciones de contorno de la integración definen la trayectoria en el tiempo.

---

por otro lado un poco mas de precisión se puede lograr haciendo que el el sistema de referencia este en el CM del Sistema Sol-venus-tierra

el en plano cartesiano


$m_s\dfrac{\partial^2 x_s}{\partial t^2}\,\dfrac{(x_s)}{|\vec R_s|}=-\dfrac{Gm_sm_v(x_v-x_s)}{|\vec R_v-\vec R_s|^{3}}-\dfrac{Gm_sm_t(x_t-x_s)}{|\vec R_t-\vec R_s|^{3}}$

$m_s\dfrac{\partial^2 y_s}{\partial t^2}\,\dfrac{(y_s)}{|\vec R_s|}=-\dfrac{Gm_sm_v(y_v-y_s)}{|\vec R_v-\vec R_s|^{3}}-\dfrac{Gm_sm_t(y_t-y_s)}{|\vec R_t-\vec R_s|^{3}}$

$m_v\dfrac{\partial^2 x_v}{\partial t^2}\,\dfrac{(x_v)}{|\vec R_v|}=-\dfrac{Gm_vm_s(x_s-x_v)}{|\vec R_s-\vec R_v|^{3}}-\dfrac{Gm_sm_t(x_t-x_v)}{|\vec R_t-\vec R_v|^{3}}$

$m_v\dfrac{\partial^2 y_v}{\partial t^2}\,\dfrac{(y_v)}{|\vec R_v|}=-\dfrac{Gm_vm_s(y_s-y_v)}{|\vec R_s-\vec R_v|^{3}}-\dfrac{Gm_sm_t(y_t-y_v)}{|\vec R_t-\vec R_v|^{3}}$

$m_t\dfrac{\partial^2 x_t}{\partial t^2}\,\dfrac{(x_t)}{|\vec R_t}=-\dfrac{Gm_tm_v(x_v-x_t)}{|\vec R_v-\vec R_t|^{3}}-\dfrac{Gm_sm_t(x_s-x_t)}{|\vec R_s-\vec R_t|^{3}}$

$m_t\dfrac{\partial^2 y_t}{\partial t^2}\,\dfrac{(y_t)}{|\vec R_t|}=-\dfrac{Gm_tm_v(y_v-y_t)}{|\vec R_v-\vec R_t|^{3}}-\dfrac{Gm_sm_t(y_s-y_t)}{|\vec R_s-\vec R_t|^{3}}$

donde son conocidas, las posiciones y velocidades iniciales de los tres cuerpos $(x_i,y_i,v_{xi},v_{yi})$

luego la partícula tiene que cumplir la ecuación


$m_p\dfrac{\partial^2 x_p}{\partial t^2}\dfrac{(x_p)}{|\vec R_p|}=-\dfrac{Gm_sm_p(x_p-x_s)}{|\vec R_p-\vec R_s|^{3}}-\dfrac{Gm_vm_p(x_p-x_v)}{|\vec R_p-\vec R_v|^{3}}-\dfrac{Gm_tm_p(x_p-x_t)}{|\vec R_p-\vec R_t|^{3}}$

$m_p\dfrac{\partial^2 y_p}{\partial t^2}\dfrac{(y_p)}{|\vec R_p|}=-\dfrac{Gm_sm_p(y_p-y_s)}{|\vec R_p-\vec R_s|^{3}}-\dfrac{Gm_vm_p(y_p-y_v)}{|\vec R_p-\vec R_v|^{3}}-\dfrac{Gm_tm_p(y_p-y_t)}{|\vec R_p-\vec R_t|^{3}}$

allí la ecuación (ahora está referida al CM del sistema y no al sol )



si
$R_v$ es la distancia desde el centro de Venus al CM
$R_V$ es el radio del planeta Venus y su vector tiene la dirección desde el centro al punto de amerizaje
$R_t$ es la distancia desde el centro de la Tierra al CM
$R_T$ es el radio de la Tierra y su vector tiene la dirección desde el centro al punto de lanzamiento

$R_v+R_V\cong R_v$
$R_t+R_T\cong R_t$
puesto que
$|R_v|<<|R_V|$
$|R_t|<<|R_T|$

y así entonces con origen en el CM


$\dfrac12(V_{otx}-\Delta V \sin\theta )^2+\dfrac12(V_{oty}-\Delta V \cos\theta)^2-\dfrac{GM_t}{|\vec R_T|}-\dfrac{GM_v}{|(\vec R_v+\vec R_V)-(\vec R_t+\vec R_T)|}-\,\dfrac{GM_s}{|\vec R_s|}=$

$\dfrac12v_{ov}^2-\dfrac{GM_v}{|(\vec R_v|}-\dfrac{GM_t}{|(\vec R_t+\vec R_T)-(\vec R_v+\vec R_V)|}-\dfrac{GM_s}{| R_V|}$

es la conservación de la energía .Luego si lo tomas como lagrangiano, al integrar el tiempo total de la trayectoria depende de la velocidad inicial y el angulo de lanzamiento, que es lo que tu creo me indicas


Paso el código para el sistema de referencia en el Sol

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Private Sub corre_Click()
'definicion de constantes del modelo en metros segundos y kg
Const G = 6.67408E-11 ' constantede graviacion universal
Const Mt = 5.9736E+24 ' masa de la tierra
Const Mv = 4.8696E+24 ' masa de venus
Const Ms = 1.9891E+30 ' masa del sol
Const Rt = 6371000 'radio de la tierra
Const Rv = 6051800 ' radio de venus
Const Rs = 698508000 'radio del sol
Const Rov = 108208930000# 'radio orbital de venus
Const Rot = 149597870691# ' radio orbital de la tierra
Const Vmt = 29780 ' velocidad media orbital de tierra
Const Vmv = 35021.4 'velocidad media orbitakl de venus
Const Pi = 3.14159265358979

Dim Xv, Yv, Xva, Yva, Xt, Yt, Xta, Yta, ov, ot, oo, wv, wt As Double
Dim Vxv, Vyv, Vxt, Vyt, Axv, Ayv, Axt, Ayt As Double
Dim Xp, Yp, Vxp, Vyp, Axp, Ayp As Double
Dim Xpa, Ypa, Vxpa, Vypa, Axpa, Aypa As Double

Dim Tita, v As Double
Me.Cls
Line (0, 5000)-(10000, 5000), QBColor(5)
Line (5000, 0)-(5000, 10000), QBColor(5)
Circle (posx(Xs), posy(Ys)), Tam(Rov), QBColor(4)
Circle (posx(Xs), posy(Ys)), Tam(Rot), QBColor(1)
Circle (posx(Xs), posy(Ys)), Tam(Rs), QBColor(6)
paso = CDbl(Tpaso.Text) ' define cada cuantos segundos se hace el calculo de un nuevo punto de la trayectoria
Xs = 0
Ys = 0
Xv = Rov * Cos(Pi / 180 * phi.Text)
Yv = Rov * Sin(Pi / 180 * phi.Text)
Xt = Rot
Yt = 0
'velocidddes angulares
wv = Vmv / Rov
wt = Vmt / Rot
oo = Pi / 180 * phi.Text
Xva = Xv
Yva = Yv
Xta = Xt
Yta = Yt
Tita = Pi / 180 * Ttita.Text
Xp = Xt + Rt * Cos(Tita)
Yp = Yt + Rt * Sin(Tita)
'velocidad de lanzamiento
v = CDbl(vel.Text)
' por simplicidad es cojo un sistem de giro antihorario donde la tierra parte de la horizontal.
Vxt = -Rot * wt * Sin(0)
Vyt = Rot * wt * Cos(0)

Vxp = Vxt + v * Cos(Tita)
Vyp = Vyt + v * Sin(Tita)
Vxpa = Vxp
Vypa = Vyp

Xpa = Xp
Ypa = Yp
dmin = ((Xp - Xv) ^ 2 + (Yp - Yv) ^ 2) ^ 0.5

For t = 0 To CDbl(tt.Text) Step paso

'venus
ov = wv * t + oo
Xv = Rov * Cos(ov)
Yv = Rov * Sin(ov)
'Vxv = -Rov * wv * Sin(ov) ' innecesarias para el modelo
'Vyv = Rov * wv * Cos(ov)
'Axv = -Rov * wv ^ 2 * Cos(ov)
'Ayv = -Rov * wv ^ 2 * Sin(ov)

'tierra
ot = wt * t
Xt = Rot * Cos(ot)
Yt = Rot * Sin(ot)
'Vxt = -Rot * wt * Sin(ot)
'Vyt = Rot * wt * Cos(ot)
'Axt = -Rot * wt ^ 2 * Cos(ot)
'Ayt = -Rot * wt ^ 2 * Sin(ot)

'particula el siguiente punto se calcula en funcion de la posicion anterior misma variable finalizada en a
'aceleraciones respecto del sol, venus y tierra en direccion x

ax1 = -G * Ms * Xp / (Xp ^ 2 + Yp ^ 2) ^ 1.5
ax2 = -G * Mv * (Xp - Xv) / ((Xp - Xv) ^ 2 + (Yp - Yv) ^ 2) ^ 1.5
ax3 = -G * Mt * (Xp - Xt) / ((Xp - Xt) ^ 2 + (Yp - Yt) ^ 2) ^ 1.5
Axp = ax1 + ax2 + ax3
'aceleraciones respecto del sol, venus y tierra en direccion y
ay1 = -G * Ms * Yp / (Xp ^ 2 + Yp ^ 2) ^ 1.5
ay2 = -G * Mv * (Yp - Yv) / ((Xp - Xv) ^ 2 + (Yp - Yv) ^ 2) ^ 1.5
ay3 = -G * Mt * (Yp - Yt) / ((Xp - Xt) ^ 2 + (Yp - Yt) ^ 2) ^ 1.5
Ayp = ay1 + ay2 + ay3

'Velocidades
Vxp = Vxpa + (Axp + Axpa) / 2 * paso
Vyp = Vypa + (Ayp + Aypa) / 2 * paso

'posicion
Xp = Xpa + Vxpa * paso + Axpa * paso ^ 2 / 2
Yp = Ypa + Vypa * paso

'Distancia a venus
d = ((Xp - Xv) ^ 2 + (Yp - Yv) ^ 2) ^ 0.5
ds = (Xp ^ 2 + Yp ^ 2) ^ 0.5
If d < Rv Then
MsgBox ("impacto")
t = CDbl(tt.Text)
End If
'distancia minima a venus durante toda la trayectoria
If d < dmin Then dmin = d
If ds < Rov Then
MsgBox ("paso de largo")
t = CDbl(tt.Text)

End If

'Graficos las funciones pos() dan posicion relativa en el grafico a escala

Circle (posx(Xp), posy(Yp)), 30, QBColor(4)
Circle (posx(Xv), posy(Yv)), 30, QBColor(2)
Circle (posx(Xt), posy(Yt)), 30, QBColor(1)

'Line (posx(Xpa), posy(Ypa))-(posx(Xp), posy(Yp)), QBColor(4)

' renombrar variables para el proximo paso
Xta = Xt
Xva = Xv
Yta = Yt
Yva = Yt
Xpa = Xp
Ypa = Yp
Vxpa = Vxp
Vypa = Vyp
Axpa = Axp
Aypa = Ayp

dis.Text = d
dis.Refresh
Dminimo.Text = dmin
Dminimo.Refresh

Tpo.Text = t
Tpo.Refresh



Next

End Sub

Public Function posx(ByVal dx As Double)
posx = 5000 / 160000000000# * dx + 5000
End Function
Public Function posy(ByVal dy As Double)
posy = -5000 / 160000000000# * dy + 5000
End Function
Public Function Tam(ByVal dt As Double)
Tam = 5000 / 160000000000# * dt
End Function

[carroza]

Hola, Richard. Gracias por el mensaje extenso. Voy a centrarme en el siguiente punto:

Pero cuando sumas todos los potenciales, respecto de un mismo SRI y le sumas la energía cinetica, tanto la proveniente del momento angular(velocidad orbital) como la de la velocidad radial, responsable del cambio radio orbital respecto del sol y al no haber fuerzas exteriores en un sistema central conservativo la energía mecánica del satélite se conserva .

Voy a intentar explicarte por qué es incorrecto. Para ello, voy a trabajar siempre en un sistema inercial, centrado en el sol.

1) El satélite no está en un sistema central conservativo libre de fuerzas externas. El satélite está sometido a la atracción del sol, que podemos sustituir por un potencial central $V (r)$, más la interacción con los planetas. La interacción con los planetas podemos considerarlas "fuerzas exteriores" al satélite, con lo cual no hay razón para que se conserve la energía del satélite. Alternativamente, podemos sustituir a los planetas el potencial gravitatorio que generan $V_p(\vec r, t) = \sum_i V_i(|\vec r - \vec r_i (t)|)$, pero en ese caso estos potenciales gravitatorios dependen explicitamente del tiempo, ya que la posición de los planetas$\vec r_i(t)$ depende del tiempo . Por tanto, la energía mecánica del satélite $E = T + V(r) + V_p(\vec r, t)$ depende explicitamente del tiempo. Por tanto la energía mecánica del satélite no se conserva.

2) Por supuesto, el sistema formado por sol + planetas + satélite es un sistema aislado de fuerzas externas, con lo cual la energía mecánica del sistema sol + planetas + satélite se conserva estrictamente. Eso permite que la energía mecánica del satélite se modifique sustancialmente, siempre a costa de la energía mecánica de los planetas. No obstante, como la masa de los planetas es muchísimo más grande que la del satélite, ese cambio de energía no modifica de forma perceptible la trayectoria de los planetas.

3) Una aplicación práctica de esto es la trayectoria del Voyager 2. Este se lanza desde la tierra, con una energía mecánica suficiente para llegar a la orbita de Júpiter, pero no suficiente para llegar a la orbita de saturno. No obstante, cuando se planifica cuidadosamente la trayectoria, la interacción del satélite con Jupiter, hace que aumente la energía mecánica del satélite (a costa de una minúscula disminución de la velocidad de Jupiter), con lo cual el satélite tiene suficiente energía para llegar a saturno y a los planetas exteriores. Esto se explica en detalle en http://spiff.rit.edu/classes/phys211.../voyager2.html

Un saludo

[Richard R Richard]

1) Creo haber visto luz , darme cuenta, por ahora, por prueba y error en simulaciones, cuando me de cuenta que fallaba en la teoría, o como corregir, te comento.
2) De acuerdo
3) Seguro la asistencia gravitacional es un hecho, https://es.wikipedia.org/wiki/Asistencia_gravitatoria.... aunque aquí entiendo que la energía extra la extrae del planeta, que en el modelo la pongo como constante, por mantener órbita circular uniforme...

[Livilro]

Preguntando por el punto 2 carroza,

-"No obstante, como la masa de los planetas es muchísimo más grande que la del satélite, ese cambio de energía no modifica de forma perceptible la trayectoria de los planetas."

supongo que a mayor tiempo se deje avanzar el sistema la modificación que en principio es ínfima irá siendo exponencialmente mayor.

¿Nuestro error en el cálculo de la trayectoria crece exponencialmente con el tiempo?



Tambien una dudilla, me es dificil no pensar en termodinámica cuando se habla de compensación entre los elementos para conservar la energia mecánica.

¿ Las compensaciones se dan mediante cambios en el espacio-tiempo, es decir en la curvatura asociado a cada cuerpo? ¿ o hablamos de interacciones puramente electromagnéticas para llevarlo a cabo ?



( solucionado, perdón la molestia )

[Richard R Richard]

Quizá no pueda decir cual, sino como conseguir el mínimo delta V

Para empezar tenemos que aprovechar, uno de los suministros de velocidad que desprecie antes , como lo es la velocidad tangencial de rotación de la tierra, eligiendo un sitio de lanzamiento lo mas ecuatorial posible, ello reduce al viaje en tiempo y costo para llegar a una órbita terrestre.

esta maniiobra se la llama giro gravitacional una referencia en https://aerospaceintelligence.wordpr...al-y-economia/

después entiendo se pueden seguir dos tipos de caminos, llegar a una trayectoria sobre la https://es.wikipedia.org/wiki/Esfera_de_Hill
uno llegando al punto de lagrange$L_1 TS$ , allí esperar al momento siguiendo donde los cálculos permitan con un delta V tomar orbita de Hohmann hacia$L_2 VS$

otro aplicar escoger la ventana para hacer un salto hacia una órbita cercana a la superficie Lunar, aprovechar allí el efecto Oberth ,https://es.wikipedia.org/wiki/Efecto_Oberth para elegir una de dos posibilidades,

seguir una órbita directa , en la cual la de Hohmann tiene la menos energía con rumbo hacia $L_2VS$
y otra tomar una órbita bielíptica hacia $L_2VS$ https://es.wikipedia.org/wiki/Transf...iel%C3%ADptica entiendo que de esta forma se puede conseguir el mínimo Delta V, peor hay que jugar mucho con la ventana de lanzamiento, ya que hay que poner a Venus y a la Luna en una posición optima, que no sucede en todos los giros,(manteniendo aún la idea del movimiento en el plano)

Por ultimo se puede mejorar evitando la llegada a $L_2VS$ precisando el calculo para lograr una captura balística https://en.wikipedia.org/wiki/Ballistic_capture

Aparentemente se pueden hacer otros tipo de viajes mas lentos , pero de menos energía, pero no encontré mucho de como calculan sus Delta V
https://es.wikipedia.org/wiki/Viaje_interplanetario utilizando https://es.wikipedia.org/wiki/Red_de...nterplanetario

Saludos , Espero que si bien no te he sacado el conejo de la chistera, por la respuesta,esta te entretenga creándote nuevos interrogantes.

¿Nuestro error en el cálculo de la trayectoria crece exponencialmente con el tiempo?

No tiene porque crecer como función exponencial, pero todo error se propaga, y el problema de los tres cuerpos es caótico, luego, pequeños errores iniciales, tienen grandes consecuencias a posteridad.
Lo mismo que en un tiro al blanco, una desviación de 1' de grado te hace dar a la diana si se halla a poco metros, pero en grandes distancias, puedes errar por varios centímetros.

[carroza]

Gracias, Richard.

Creo que con esta amplia colección de referencias se colma mi curosidad, por ahora.

En especial me llama la atención el concepto de "Red de transporte interplanetario", entendido como una serie de trayectorias que conectan los puntos de Lagrange de los diferentes subsistemas binarios del sistema real, generando trayectorias "cuasi periodicas", que permiten ir de un punto a otro del sistema solar con una energía muy pequeña, aunque a costa de tomar mucho tiempo.

Intuiría que, si desde la tierra queremos ir a un planeta interior (p. ej venus) , primero debemos salir de la esfera de Hill de la tierra por el punto de Lagrange L1. Por contra, si queremos ir a un planeta exterior (p. ej.marte) , debemos salir de la esfera de Hill por el punto de Lagrange L2.

Un saludo.

[Richard R Richard]

Este del JPL esta por demás de interesante http://www.gg.caltech.edu/~mwl/publi...AndOrigins.pdf