2o ciclo Intensidad emergente de la estrella

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Tengo una serie de dudas para este ejercicio, que tras escribir el enunciado comenzaré a plantear.

Una nube esférica de radio R de un gas que emite térmicamente a temperatura T a ritmo $P_{\nu }$ (potencia por unidad de volumen y unidad de frecuencia) se encuentra a una distancia d
( >>R) de la Tierra. Supón que la nube es ópticamente delgada.
i) ¿Cuál es la intensidad emergente de la nube? Da la respuesta como función de la distancia b al centro de la nube.
ii) ¿Cuál es la temperatura efectiva de la nube?
iii) ¿Cuál es la luminosidad l medida en la Tierra procedente de toda la nube?
iv) ¿Qué relación hay entre las temperaturas de brillo de la nube $T_{b, \nu } (b)$ y la temperatura dela nube?

Para el apartado i, usaría la siguiente expresión:
$I_{\nu } (r,n,t)= \frac{2h\nu ^{3}}{c^{2}} f (\nu , r,n,t)$
Siendo f la función de distribución, la cual desconozco.

Para el apartado ii, usaría la ley de Stefan Boltzmann:
$F = \pi B = \sigma T^{4}$
donde B es la intensidad del apartado anterior.

Para el apartado iii, usaría la siguiente formula:
$L = 4\pi r^{2}\sigma T_{e}^{4}$
siendo $T_{e}$ la temperatura calculada en el apartado anterior.

El apartado iv no sabría como plantearlo.

Me gustaría saber si estoy en lo correcto en las expresiones que se deben usar y sino es así, si alguien fuera tan amable de explicarme cuales serían las correctas.

[Alriga]

No soy experto y no lo entiendo muy bien, si el dato conocido es $P_v$ densidad volumétrica de potencia entonces creo que:

i) ¿Cuál es la intensidad emergente de la nube? Da la respuesta como función de la distancia b al centro de la nube.

$0 \leq b \leq R \quad \rightarrow \quad L(b)=\dfrac 4 3 \pi b^3 P_v$


ii) ¿Cuál es la temperatura efectiva de la nube?

$L=L(R)$

$L=\dfrac 4 3 \pi R^3 P_v$

$L=4 \pi R^2 \sigma T^4$

$T=\sqrt[4]{\dfrac{R P_v}{3 \sigma}}$


iii) ¿Cuál es la luminosidad " $l$ " medida en la Tierra procedente de toda la nube?

Si el radio de la Tierra es muchísimo menor que la distancia "d" a la nube de radio "R" el ángulo sólido visto desde la Tierra es:

$A=\dfrac{\pi R^2}{d^2}$

$l=L \cdot A$

$l=\dfrac{4 \pi^2 R^5 P_v}{3 d^2}$


Repito, no soy nada experto en estos temas, repásalo todo, saludos.

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Buenas, muchas gracias Alriga, he revisado los datos y creo que están bien, de todas formas, mañana he quedado con un amigo que es físico y le preguntaré a ver si él controla el tema y si él cree que se hace de otra forma, lo subo al hilo.
Por cierto, para el ultimo apartado.

iv) ¿Qué relación hay entre las temperaturas de brillo de la nube $T_{b, \nu }(b))$ y la temperatura dela nube?

Dividiríamos los datos del apartado b entre los de la temperatura de brillo de la nube, ¿Pero como se sacan esos datos?

[jssln]

Buenas te pasó las conclusiones a las que he llegado con él.

i) Usamos la ecuación de transferencia radiativa : $I_{\nu }(b)= I_{\nu ,o} e^{-\tau_{\nu}} + S_{\nu } (1 -e ^{-\tau_{\nu}})$
y como al nuebe es ópticamente delgada $\tau_{\nu}$ << 1 y la ecuación queda como:
$I_{\nu }(b)= I_{\nu ,o}$ y esto creo que nos llevaría a la respuesta que diste, creo.

ii) y iii) también estarían bien.

y en el iv) Hemos encontrado una relación para cuando son gruesas, que son iguales, pero cuando son delgadas, no hemos encontrado nada