La derivada en física.

[l3m0n]

Buenas, la razón para este tema es plantear una pregunta que creo que más bien tiene que ver con filosofía, más que con cualquier otra cosa, pero allá va.

Yo no soy físico ni estudio física (estudio matemáticas), pero por lo que tengo entendido, el tiempo no es algo contínuo (como podría ser continuo en el sentido de los números reales) sino que va dando "saltitos" y no estoy tan seguro de si con el espacio pasa lo mismo, creo que si, ya me lo direis.

Por lo tanto, imaginemos una función f(t) que nos dé, por ejemplo, la posición en función del tiempo, así que lo que haría cualquiera si quisiera tener la velocidad en función del tiempo sería simplemente derivar esta función f. Pero aquí se plantea un pequeño problema y es: como planteamos la derivada de esta función?, que no es una función continua puesto que el tiempo no es algo contínuo.
Aquí se me plantean dos alternativas, o bien justificar que no se puede derivar en tanto que no es una función continua y que por tanto, no podremos tener nunca la velocidad en un punto concreto, ya que ese concepto mismo de velocidad en un punto no existe en el mundo real, puesto que el tiempo no es contínuo. O bien simplemente suponer que esta función f es continua tomando, por ejemplo la unión de los puntos de los diferentes tiempos (que creo que es lo que se suele hacer).

Si tomamos esta segunda alternativa, entonces se nos plantea un problema, y es que nunca vamos a poder obtener una precisión "absoluta", ya que en todo momento dependemos del error que esa suposición de hacer tomar la función contínua nos hace cometer y que, por tanto, no hay un valor real de velocidad ni de cualquier otra cosa que dependa del tiempo en un punto concreto y todo depende de nuestro modo de analizarlo (eso ya es un poco de filosofía barata para el final ).

[arivasm]

Re: La derivada en física.

Aunque es cierto que hay alguna teoría física que introduce la hipótesis de que el espacio y el tiempo son "granulados" en primer lugar hay que decir que al menos de momento se trata de eso, teorías, pendientes de una verificación experimental. Por tanto, no se puede afirmar, como dices, que el tiempo sea discontinuo.

En segundo lugar, el tamaño de esos "granos" se situaría en la escala de la longitud y tiempo de Planck. En consecuencia, los fenómenos que requieran de ese grado de detalle necesariamente deberán ser descritos recurriendo al formalismo cuántico, en lugar del clásico, de manera que, por ejemplo, conceptos como "posición" o "velocidad" no poseen el mismo significado (e incluso carecen de él) que en la Física clásica.

Por otra parte, el problema de la imposibilidad de una precisión absoluta que mencionas surge a escalas bastante mayores (tales como el tamaño de un átomo e incluso mayores) debido a la naturaleza cuántica de la materia, y entonces sin necesidad alguna de recurrir a los supuestos problemas de continuidad que citas. Es posible que recuerdes de las clases de bachillerato el principio de incertidumbre y sus consecuencias, o como mínimo las clases de Química en las que te contaron que el concepto de órbita del electrón en un átomo carece de sentido, debiendo ser reemplazado por el de orbital.

Por último, recuerda que la validez de las herramientas físicas que empleamos para describir la realidad está en función del grado de detalle que requiramos. Un ingeniero que diseña ascensores no necesita complicarse la vida con el carácter cuántico de la naturaleza, y la mecánica newtoniana es su herramienta número 1. En otras palabras: cuando bebes un vaso de agua, aunque sabes que se trata de un medio intrínsecamente discontinuo, debido a su naturaleza molecular, puedes interpretar perfectamente la gran mayoría de lo que observas pensando que se trata de un fluido continuo.

Olvidar este tipo de cosas conduce a intentar "matar moscas a cañonazos".

[sater]

Re: La derivada en física.

Buenas. Yo tenia una duda similar y era que, a veces en cuántica, se suponen variables continuas para poder diferenciar (por ejemplo en la deducción de la densidad de estados en el modelo de electrones libres en un metal) aun cuando en cuántica la energía no es continua y los estados están cuantizados.
El caso es que para un gran número de ellos echas números y ves que si funciona tu suposición y que describe bien la realidad. Lo que yo me pregunto es si esta es una forma segura de trabajar y si en realidad estos truquitos para conseguir las fórmulas no son engaños de los libros de primero de carrera para no complicar las cosas pero que en cuántica tienen una demostración más rigurosa/formal.

[Rodri]

Re: La derivada en física.

Lo que yo me pregunto es si esta es una forma segura de trabajar y si en realidad estos truquitos para conseguir las fórmulas no son engaños de los libros de primero de carrera para no complicar las cosas pero que en cuántica tienen una demostración más rigurosa/formal.

Supongamos que vamos viajando por una carretera y vemos un monte a lo lejos en el que hay un extenso bosque. El bosque lo vemos como una gran mancha verde sobre el monte. Si un día decidimos hacer una excursión por el bosque entonces entraremos en el bosque, veremos uno a uno cada árbol y tendremos otra representación mental del bosque.
¿Quiere decir esto que describir el bosque como una mancha verde sobre el monte es "un engaño"? Yo diría que no. De hecho es la descripción adecuada para alguien que pase por la carretera y esté interesado en una descripción geográfica y paisajística de la región.
En cambio, para un botánico interesado en conocer la flora de la región, la descripción del bosque como mancha verde no es adecuada para sus fines y tendrá que acercarse al bosque y ver los árboles de cerca.

[Weip]

Re: La derivada en física.

Si quisiéramos derivar en física clásica pero suponiendo lo que dice l3m0n, ¿serviría sustituir el conjunto de los reales por otro más adecuado y intentar definir ahí la derivada?

[guillegran]

Re: La derivada en física.

Es como cuando se modeliza la dinámica de poblaciones con una ecuación diferencial, al fin y al cabo estás aproximando por algo continuo algo que realmente no lo es, siempre podrías sustituir las ecuaciones diferenciales por ecuaciones en diferencias, pero viendo las dificultades que nos traen estas últimas, casi mejor aproximar a continuidad...