2o ciclo Sobre las leyes físicas y el lenguaje matemático

[Everett IV]

¿Consideráis que los lenguajes de primer orden son los adecuados para presentar las leyes científicas, quizá no haya una ley que necesite un metalenguaje por encima del lenguaje del primer orden para ser enunciada, y en qué lógica se basa el lenguaje natural?

[Weip]

Re: Sobre las leyes físicas y el lenguaje matemático

¿Consideráis que los lenguajes de primer orden son los adecuados para presentar las leyes científicas, quizá no haya una ley que necesite un metalenguaje por encima del lenguaje del primer orden para ser enunciada, y en qué lógica se basa el lenguaje natural?

Hombre los lenguajes de primer orden se bastan para hacer física y la mayoría de matemáticas (análisis, geometría y álgebra que es lo que más usa la física). Si existe alguna ley que necesita otro lenguaje (que creo que es improbable, al menos yo no conozco ninguna) pues no creo que haya mucho problema en tratarla. Sobre la lógica del los lenguajes naturales realmente no se basan en ninguna. Piensa que hay una dificultad intrínseca a los lenguajes naturales y es que se pueden contradecir. Hay frases que se pueden formalizar y otras que no.

[Everett IV]

Re: Sobre las leyes físicas y el lenguaje matemático

Se me ha encendido la bombilla, a ver si lo que digo os parece coherente: Creo que el lenguaje natural asocia frases a situaciones y objetos concretos, y así vamos aprendiendo el uso de las palabras. Y por eso podemos relacionar el lenguaje con la experiencia y es más rico que un lenguaje de primer orden precisamente por eso. Los numeros finitos metamatemáticamente (los números estándar), los aprendemos cuando aprendemos a contar, y el modelo estándar es el modelo mínimo de PA porque no necesitamos numeros metamatemáticamente infinitos (números no estándar) para poder hacer a cualquier número el añadirle uno. No creo que sean necesarias más lógicas que las de primer orden. El teorema de Gödel habla de lenguajes abstractos, a los cuales no les atribuimos significados, pero en el lenguaje natural , si podemos hacerlo, quizá sea eso la metamatemática

[Weip]

Re: Sobre las leyes físicas y el lenguaje matemático

Y por eso podemos relacionar el lenguaje con la experiencia y es más rico que un lenguaje de primer orden precisamente por eso.

Que tengamos ideas asociadas a la experiencia con un lenguaje natural no significa que sea más rico que un lenguaje formal de primer orden. Como ya te he dicho los lenguajes naturales son contradictorios y hay frases que se pueden formalizar en la teoría de conjuntos y otras que no. Desde este punto de vista un lenguaje natural en su conjunto es poco útil. Lo que resulta de desechar aquellas combinaciones indeseables es lo que usamos para argumentar en ciencia.

El teorema de Gödel

En este contexto hay muchos teoremas con el nombre de Gödel así que si no lo aclaras pues no sé a qué teorema te refieres.

quizá sea eso la metamatemática

Creo que es más corto y claro decir que la metamatemática se encarga de fundamentar las matemáticas.

Espero haberte ayudado.

[Everett IV]

Re: Sobre las leyes físicas y el lenguaje matemático

Me refería al teorema de completitud sobre el sistema deductivo de primer orden de Gödel

[FeynmanDLuis]

Re: Sobre las leyes físicas y el lenguaje matemático

La lógica de segundo orden resulta necesaria en ciertas situaciones, por ejemplo, para formular el quinto axioma de Peano.

[Weip]

Re: Sobre las leyes físicas y el lenguaje matemático

La lógica de segundo orden resulta necesaria en ciertas situaciones, por ejemplo, para formular el quinto axioma de Peano.

No la necesitas para ningún axioma de Peano. La Aritmética de Peano se puede estudiar en el marco de la lógica de segundo orden, pero también la puedes definir en la lógica de primer orden sin problema alguno. Con quinto axioma supongo que te refieres al principio de inducción. Las numeraciones cambian un poco dependiendo del texto, por eso pregunto. Si es a esto a lo que te refieres entonces se puede formular de la siguiente forma: $\psi(0)\wedge \bigwedge x(\psi(x) \to \psi(x'))\to \bigwedge x\psi(x)$. Mientras no cuantifiques sobre relaciones y esas cosas pues no hay problema.

Finalmente aclarar que yo estaba hablando en el contexto de la física. La lógica afecta de forma muy muy indirecta a las ciencias naturales pero bueno Everett IV lo ha preguntado.

[Everett IV]

Re: Sobre las leyes físicas y el lenguaje matemático

Creo que las lógicas de orden mayor que uno se pueden sustituir (en el sentido metamatemático de isomorfismo) por una teoría de conjuntos, entendiendo una teoría de conjuntos como una teoría de primer orden con una relación de pertenencia con una relación de pertenencia$\in$ a definir en los axiomas y una relación de igualdad = de que si a una colección de elementos pertenece a 2 conjuntos y ningún elemento más pertenece a ellos, entonces los conjuntos son iguales

[Weip]

Re: Sobre las leyes físicas y el lenguaje matemático

Creo que las lógicas de orden mayor que uno se pueden sustituir (en el sentido metamatemático de isomorfismo) por una teoría de conjuntos, entendiendo una teoría de conjuntos como una teoría de primer orden con una relación de pertenencia con una relación de pertenencia$\in$ a definir en los axiomas y una relación de igualdad = de que si a una colección de elementos pertenece a 2 conjuntos y ningún elemento más pertenece a ellos, entonces los conjuntos son iguales

Tampoco es que sepa mucho de lógica pero creo que una equivalencia no la puedes lograr metamatemáticamente porque para definir una teoría de conjuntos necesitas definir antes el concepto de teoría axiomática en el contexto de la lógica. Si defines teoría axiomática dentro de la teoría de conjuntos (que es axiomática) tienes un pez que se muerde la cola. Además hay teorías de conjuntos no equivalentes entre sí y habrá algunas que no podrás definir en la que tu elijas. Por ejemplo en ZF no puedes definir NBG porque no tienes clases propias. En cambio en el marco de la lógica puedes definir las dos.