Otras carreras Límites e infinitos

[Pola]

No sé porqué, pero se me viene a la cabeza una y otra vez a la cabeza el asunto de los límites y los infinitos. Matemáticamente no tengo ningún problema con ellos, pero cuando pienso en cómo aplican a la realidad en el mundo de la física, me saltan por los aires.

Hace tiempo, pregunté sobre u na hipotética situación en la que había 4 detectores equidistantes del punto en el que se emitía un único electrón y preguntaba cómo y dónde se detectaría y por qué.
Carroza, si no recuerdo mal, me explicó en una de sus respuestas que había que tener en cuenta un factor que afectaba a la capacidad de los receptores (de manera que no todos los fotones iban a ser detectados en algún receptor).
Bueno. Imaginemos que podemos despreciar ése término y suponer que todos los fotones que emite (de uno en uno) mi aparato van a ser detectados.
Coloco 2 receptores y emito el primer fotón. Si no estoy equivocado, hay una probabilidad de 1/2 de que sea detectado en cada uno de los receptores.
Ahora coloco 4 receptores. Habrá una probabilidad del 1/4 de ser detectado en cada uno.
Coloco 8, y habrá 1/8.
Y así sucesivamente.
Hasta que llego a infinitos detectores. Entonces la probabilidad es 1/infinito = 0. El fotón no será detectado en ninguno de los receptores.
Claro, se me puede responder que estamos frente al concepto de un límite, y que nunca se puede llegar a colocar infinitos receptores y que esta pregunta no tiene sentido.
Pero yo puedo objetar que si ésa situación no va a producirse nunca, pues que entonces no se tenga en cuenta. Porque no tiene sentido preguntarse sobre cosas que nunca van a pasar. Eliminemos de la física el concepto de límite. No tiene sentido.
Y de la masa puntual.
¿No?
Además, y volviendo al ejemplo, si yo fuera capaz de poner un detector circular (y que por tanto tiene infinitos puntos) al rededor del aparato emisor de fotones, en algún lado se detectaría el fotón, en contra del resultado teórico se supone que dice.

[delmar7]

Hola

Respecto al ejemplo del detector circular de radio R, por ejemplo, si consideramos un punto de la circunferencia como referencia por ejemplo A, cualquier otro punto de la circunferencia P, queda determinado por la longitud del arco AP con sentido antihorario. Es evidente que el espacio muestral (conjunto de posiciones posibles de choque del electrón, suponiendo que se mueve en el plano de la circunferencia ) es la circunferencia, a cada punto se le asigna un valor x que varía desde $[0,2 \pi R)$, es razonable por ejemplo que un arco de longitud doble a otro, esta asociado a una probabilidad doble, con esta consideración x, es una variable aleatoria continua uniforme cuya función de densidad de probabilidad será :

$f(x)=\frac {1}{2 \pi R} \ \ \ \ x \in{[0,2 \pi R)}$

La distribución de probabilidad es $F_x(t)=\frac {t}{2 \pi R} \ \ \ t \in{[0,2 \pi R)}$ esto es la probabilidad de que $x\leq t$, con este dato se tiene que la $P(t-h<x \leq t+h)=\frac {2h}{2 \pi R}$ evidentemente si h tiende a 0, $P(x=t)=0$ y esto es genérico, la probabilidad de que el electrón choque en un cualquier punto determinado t, de la circunferencia es cero. Pero la probabilidad de que choque con la circunferencia (es decir con algún punto de todo el arco de longitud $2 \pi R$) es 1. Esto significa que siempre chocará con algún punto de la circunferencia. En el primer caso se habla de la probabilidad de que choque con un punto determinado t, de la circunferencia; y en el segundo caso se habla de la probabilidad de que el punto de choque sea cualquier punto de la circunferencia.

Saludos

[Pola]

Pues muchas gracias por tu respuesta. Siempre se aprende algo con vosotros.

Perdona mi ignorancia, pero ¿qué es "h"?¿una variable cualquiera? ¿la constante de Plank?

Aunque igual matemáticamente no tiene sentido, me resulta curioso ése matiz que diferencia un punto determinado de un punto cualquiera.

Gracias de nuevo y un saludo

[javisot20]

Perdona mi ignorancia, pero ¿qué es "h"?¿una variable cualquiera? ¿la constante de Plank?

h es una cierta longitud de arco en la circunferencia, cuando supones h=0 estás preguntando por la probabilidad de que el electrón choque en un único punto de la circunferencia (Notarás que la probabilidad es 0, también notarás que la probabilidad es distinta de 0 si h>0)




(¿Ya no pueden borrarse los mensajes o soy yo que no acierto?)

[delmar7]

Pues muchas gracias por tu respuesta. Siempre se aprende algo con vosotros.

Perdona mi ignorancia, pero ¿qué es "h"?¿una variable cualquiera? ¿la constante de Plank?

Aunque igual matemáticamente no tiene sentido, me resulta curioso ése matiz que diferencia un punto determinado de un punto cualquiera.

Gracias de nuevo y un saludo

Disculpa por la tardanza, en efecto como dice javisot20, h es una variable positiva h>0, cuando tiende a cero, la probabilidad del intervalo tiende a la probabilidad de que x=t

Saludos

[Pola]

Gracias por las aclaraciones. Me había parecido que era la variable que daba sentido a un arco de la circunferencia. Pero como la notación coincide con la de la constante de Plank, me hizo dudar.
Gracias de nuevo.
No quiero ser pesado, pero en el límite, el resultado es desconcertante. La probabilidad es cero. Y sin embargo, se va a detectar.

[javisot20]

La probabilidad es cero. Y sin embargo, se va a detectar.

La probabilidad (de que el electrón choque en un punto 'determinado') es cero. Y sin embargo, se va a detectar (en algún punto de toda la longitud de circunferencia).

Correcto Pola, ¿qué te desconcierta?

[Pola]

Pues que siendo Cero la probabilidad de que el electrón toque cualquier punto, se detecte

[javisot20]

Pues que siendo Cero la probabilidad de que el electrón toque cualquier punto, se detecte

La probabilidad de que el electrón toque algún punto de la circunferencia no es cero, lo que es cero es la probabilidad de que el electrón toque un punto DETERMINADO, esto es, un punto concreto que tú eliges.

El electrón será detectado en algún punto de la circunferencia con total probabilidad, pero la probabilidad de que sea detectado en un punto específico que tú elijas es cero.

[Richard R Richard]

Pues que siendo Cero la probabilidad de que el electrón toque cualquier punto, se detecte

Dime Pola, ¿te parece que un electrón es un punto?¿ te parece que va impactar con un solo punto de la circunferencia?. En la naturaleza no hay cosas puntuales, son abstracciones matemáticas, yendo un poco al fino, solo una región similar a la longitud de onda del electrón es la que puede verse afectada por su presencia, siendo$\lambda$ la longitud de esa región la probabilidad de choque allí no sería cero.

Esto no es así en realidad pero te lo relato así para que cobre un sentido correcto. por un lado un Extremo sería en el que rodeas con la circunferencia al electrón, en algún "punto" de esta impactará ese punto tiene probabilidad 1 y el resto cero, si sumas la probabilidad de cada punto a lo largo de la circunferencia, la probabilidad seguir siendo 1 , es decir , la probabilidad de ser recibido por el anillo es 1 , aun cuando el límite teórico de probabilidad de cada punto es cero.

Por otro lado puedes verlo con el estudio de diferenciales

La probabilidad de impactar un punto $x$ por unidad de ángulo es $\dfrac{1}{2\pi x}$ y la cantidad de puntos a evaluar es $x$ por unidad de longitud, en una distancia angular de $2\pi$

La cosa queda $P_{deteccion}=\dst\int\limits_{0}^{2\pi}\dfrac{1}{2\pi x} x \dd \theta=\int\limits_{0}^{2\pi} \dfrac{1}{2\pi}\dd \theta=1$


y esto es independiente de que

$\lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{1}{2\pi x}=0$