1r ciclo Ya que hablan de pozos bidimensionales...

[Enzo]

Hace un par de semanas tuve un examen de física del estado sólido, dice:
" Una partícula está confinada en una caja bidimensional definida por las siguientes condiciones límites: U(x,y)=0 para -L/2<=x<=L/2, -3L/2<=y<=3L/2 ; y U(x,Y)=Infinito fuera de estos intervalos. Determinar:

1. Las energías de los 3 estados ligados más bajos y sus degeneraciones
2. Identificar el estado mas bajo doblemente degenerado mediante los números cuánticos apropiados y determinar su energía.

Eso fue. Bueno, yo había estudiado pozos de potencial pero siempre tenia energía potencial infinita a la derecha o izquierda de algunos puntos del eje "x" pero para "y" nunca había visto ninguna limitación. Yo resolví el problema como una combinación de dos de estos pozos y los sumé pero no estoy seguro de mi respuesta.

Estuve buscando información para problemas de este tipo pero no encontré casi nada por eso me decidí a plantearles mi duda en su foro.

Ojala me den una ayuda sobre como afrontar problemas como este.
Gracias de antemano

Saludos

Enzo Felipe - Estudiante Ing. Electrónica de la Universidad Nacional de Ingeniería (Lima-Perú)

[pod]

Re: Ya q hablan de pozos bidimensionales...

Básicamente está bien, pero siguieres la justificación, es la siguiente:

Es cuestión de plantear la ecuación de Schödinger, dentro de la caja

$$- \frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \right) \psi(x,y) = E \psi(x,y) \ .$$

Se trata ahora de usar la hipótesi de separación de variables, $\psi(x,y) = X(x) Y(y)$, y simplemente dividir:

$$-\frac{\hbar^2}{2m} \left[ \frac1X \frac{\dd^2 X}{\dd x^2} + \frac1Y \frac{\dd^2 Y}{\dd y^2} \right] = E \ .$$

Cada término depende de una variable diferente, y es igual a la energía, que es una constante, lo que significa que cada término es constante, que llamaremos $\alpha$ y $\beta$, respectivamente. En resumen, tenemos dos ecuaciones separadas,

$$\begin{aligned}<br /> \frac{\dd^2 X}{\dd x^2} & = \alpha X \ , &<br /> \frac{\dd^2 Y}{\dd y^2} & = \beta Y \ ,<br /> \end{aligned}$$

que son básicamente dos copias de la ecuación de Schödinger para el pozo normal y corriente en una dimension. La energía total, será la suma:

$$E = -\frac{\hbar^2}{2m} (\alpha+\beta) \ .$$

[carroza]

Re: Ya q hablan de pozos bidimensionales...

Pod, hay una erratilla en la eq. 3. Convendria editar.

[Jose D. Escobedo]

Re: Ya que hablan de pozos bidimensionales...

A mi me parecen correctas con $\alpha = -\frac{2m}{\hbar^2}E_1$ , $\beta = -\frac{2m}{\hbar^2}E_2$ y $E=E_1 + E_2$

[pod]

Re: Ya que hablan de pozos bidimensionales...

A mi me parecen correctas con $\alpha = -\frac{2m}{\hbar^2}E_1$ , $\beta = -\frac{2m}{\hbar^2}E_2$ y $E=E_1 + E_2$

Bueno, es que ya lo corregí, había una erratilla.