Secundaria determinar incertidumbre de medidas indirectas

[nicoddl1]

esa es mi duda como hacerlo a la hora de determinar la incertidumbre absoluta al calcular un area o un volumen por ejemplo???
he encontrado varios metodo los cuales no llevan a lo mismo...alguien puede explicarme eso..los detallo a continuacion

1) z=x.y delta z= z. raiz((delta x/x)cuadrado + (delta y/y)cuadrado)

el otro

para determinar incertidumbre absoluta se determinan las incertidumbres relativas porcentuales de x e y, se suman, se dividen entre 100 y se multiplica por z.

con lo cuan aplicando estos dos metodos se termina obteniendo resultados diferentes para la incertidumbre absoluta...

aclaro: delta z seria la incertidumbre absoluta.

[pod]

Re: determinar incertidumbre de medidas indirectas

El error total en z = xy tiene dos componentes: el error debido a x y el error debido a y.

En primer lugar, tienes que calcular el error debido a cada variable,

$$\begin{aligned}<br /> \delta z_x & = y \delta x , \\<br /> \delta z_y & = x \delta y .<br /> \end{aligned}$$

Después, tienes que hacer la suma de estos dos errores. Hay dos formas de hacer esta suma. La forma sencilla es hacer la suma directa, y por lo tanto

$$\delta z = x \delta y + y \delta x .$$

Pero si los errores son independientes entre si, puedes usar lo que se llama suma gausiana, que es un poco más optimista,

$$\delta z = \sqrt{ (x \delta y)^2 + (y \delta x)^2 } .$$

Esta forma de sumar tiene en cuenta que si los dos errores son independientes es poco probable que estés, a la vez, en el peor caso en las dos variables; y por eso te da un error un poco más pequeño. Pero si los errores son dependientes (por ejemplo, si provienen de una misma medición), no puedes hacerlo así.

Si te fijas, el primer ejemplo que pones es la suma gausiana (errores independientes), mientras que el segundo es la suma directa (errores dependientes). Así que ambas formas están bien, sólo necesitas saber cuál aplicar dependiendo de la dependencia de tus errores.

[nicoddl1]

Re: determinar incertidumbre de medidas indirectas

ok, resuelto...no encontraba esto en ningun libro, muchas gracias Pod.


PD: otra pregunta, para la division quedaria igual no? y para la suma y resta?gracias

[pod]

Re: determinar incertidumbre de medidas indirectas

La fórmula general es la siguiente. Si z = f(x), entonces

$$\delta z = \frac{\dd f}{\dd x} \, \delta x.$$

[marj]

Re: determinar incertidumbre de medidas indirectas

La fórmula general es la siguiente. Si z = f(x), entonces

$$\delta z = \frac{\dd f}{\dd x} \, \delta x.$$

Hola:

Es la misma expresión que para diferenciales, ¿verdad?
Entonces, para una función de varias variables z = f(x,y,w,...) tendríamos

$$\delta z(x,y,w,...)= \frac{\partial z}{\partial x}\delta x + \frac{\partial z}{\partial y}\delta y+ \frac{\partial z}{\partial w}\delta w+...$$

.

Pero tengo una duda. Yo recuerdo que no era igual para, por ejemplo, derivar un cociente que para encontrar la incertidumbre de un cociente, pues en un caso se restaba y en el otro se sumaba, ¿puede alguien explicarme, por favor?

- - - Actualizado - - -

Necesito encontrar las incertidumbres de dos cantidades, s y p, dadas por

$$s=\sqrt{(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2}, \,\,\,\, p=\tan^{-1}\frac{y_a-y_b}{x_a-x_b}$$

De acuerdo a la fórmula gral. yo obtengo lo siguiente:

$$\delta s= \frac{(x_a-x_b)(\delta x_a-\delta x_b)+(y_a-y_b)(\delta y_a-\delta y_b)}{[(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2]^{1/2}},$$

$$\delta p= \frac{(y_a-y_b)(\delta x_a-\delta x_b)+(x_a-x_b)(\delta y_a-\delta y_b)}{(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2}$$

¿Está correcto o hice algo mal? Porque me estaba dando cuenta de que $\delta x_a=\delta x_b \text{ y } \delta y_a=\delta y_b$, ¡y entonces todo se me hace cero!

[pod]

Re: determinar incertidumbre de medidas indirectas

Hola:

Es la misma expresión que para diferenciales, ¿verdad?
Entonces, para una función de tres variables z = f(x,y,w) tendríamos

$$\delta z(x,y,w)= \frac{\partial z}{\partial x}\delta x + \frac{\partial z}{\partial y}\delta y+ \frac{\partial z}{\partial w}\delta w$$

.

Pero tengo una duda. Yo recuerdo que no era igual para, por ejemplo, derivar un cociente que para encontrar la incertidumbre de un cociente, pues en un caso se restaba y en el otro se sumaba, ¿puede alguien explicarme, por favor?

No es igual a la expresión de los diferenciales. De hecho, es un pelín más complicado, ya que depende de si los errores son independientes o no. Si lo son, entonces se suele aplicar la suma cuadrática,

$$\delta f (x, y, z) = \sqrt{ \left(\frac{\partial f}{\partial x}\, \delta x\right)^{\!\!2} + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\, \delta y\right)^{\!\!2} + \left(\frac{\partial f}{\partial z}\, \delta z\right)^{\!\!2} } .$$

Si hay motivos para temer que los errores no son independientes entre si, entonces se debe utilizar la suma de valores absolutos (simplemente tomar el valor absoluto de cada término). La suma cuadrática da una estimación un poco más optimista, ya que supone que si los errores son independientes, entonces muy mala suerte has de tener para que los errores en cada variable apunten "en la misma dirección", y por lo tanto la distancia total será menor de la máxima que uno puede tener. Sin embargo, si los errores pueden tener una relación (aunque a priori no sepamos cuál es), no podemos hacer esa solución y por ello simplemente tomamos el valor absoluto de cada error (es decir, nos ponemos en el peor caso).

En el caso del cociente, la simple regla de los valores absolutos te da la diferencia de signo:

$$\delta \left( \frac x y \right) = \left| \frac1y \, \delta x \right| + \left| \left(-\frac x{y^2} \right) \, \delta y \right| = \frac{\delta x}{|y|} + \frac{|x| \delta y}{y^2} = \left| \frac x y \right| \left( \frac{\delta x}{|x|} + \frac{\delta y}{|y|} \right) .$$

Por otro lado, si podemos argumentar que los errores en las mediciones de x e y son independientes (será el caso si se hacen mediciones por procedimientos diferentes que no afectan el uno al otro), entonces nos gustará más escribir

$$\delta \left( \frac x y \right) = \left| \frac x y \right| \sqrt{ \left(\frac{\delta x}{x}\right)^{\!\!2} + \left(\frac{\delta y}{y}\right)^{\!\!2} }$$

[Samir M.]

Re: determinar incertidumbre de medidas indirectas

Hola, un detalle importante es que debes hallar el valor absoluto de la derivada parcial por el error. Es decir,

$\delta z(x,y,w,...)= \left |\frac{\partial z}{\partial x}\delta x \right | + \left | \frac{\partial z}{\partial y}\delta y \right | + \left | \frac{\partial z}{\partial w}\delta w \right |+...$

También sería idóneo que abrieses otro post en vez de revivir uno tan antiguo.

Saludos.

- - - Actualizado - - -

Se me adelantó POD!

[marj]

Re: determinar incertidumbre de medidas indirectas

Gracias por responder. Vuelvo a hacer los cálculos y les digo qué obtuve.

También sería idóneo que abrieses otro post en vez de revivir uno tan antiguo.

Bueno, lo reviví para no duplicar tema y porque continué desde donde se quedó este hilo, pero si consideran que es más conveniente, abriré uno nuevo.

[marj]

Re: determinar incertidumbre de medidas indirectas

Hola:

Pacrece que por fin están bien, jeje.

$$\delta s= \frac{(x_a-x_b)(\delta x_a+\delta x_b)+(y_a-y_b)(\delta y_a+\delta y_b)}{[(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2]^{1/2}},$$

$$\delta p= \frac{(y_a-y_b)(\delta x_a+\delta x_b)+(x_a-x_b)(\delta y_a+\delta y_b)}{(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2}$$

¡Gracias!