Divulgación Espacio-tiempo de Minkowsky

[alexpglez]

El otro día, hablando con un amigo, nos preguntábamos cómo Minkowsky llegó a su relación:

$$ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$$

$$ds=ds'$$

Yo supongo que Minkowsky, a partir de las transformaciones de Lorentz, querría ver el módulo de la posición y buscar alguna especie de relación, cómo cuando se rota un sistema de referencia, los dos observadores miden distintas coordenadas pero la misma distancia del punto al origen de coordenadas. Pero preguntaba por si alguien sabía, o suponía algo más.
Un saludo, gracias.

[visitante20160513]

Re: Espacio-tiempo de Minkowsky

Yo me imagino que no debe ser muy difícil deducir dicha expresión si se presupone que cualquier observador que mida la velocidad de propagación de la luz debe obtener el mismo valor. Veamos dos observadores en movimiento relativo observando la propagación de un mismo rayo de luz entre dos puntos determinados:

$c^2=\displaystyle\frac{dx_1^2+dy_1^2+dz_1^2}{dt_1^2}=\displaystyle\frac{dx_2^2+dy_2^2+dz_2^2}{dt_2^2}$

en ese caso se obtiene la expresión:

$ds_1=ds_2=0$

Solo hay que tener un poco de imaginación para generalizar esa ecuación a otros casos en que el intervalo no sea nulo, aunque desconozco si tal igualdad puede llegar a demostrarse partiendo de los principios de la relatividad para cualquier valor del intervalo, creo que debe de serlo, aunque nunca he visto ninguna. El espacio de Minkowski es posterior, creo, a los inicios de la relatividad especial. Es bien sabido que la relatividad es tan solo una de las posibles soluciones al problema de la invarianza de las ecuaciones de Maxwell, precisamente la que hace que las transformaciones de Lorentz sean una aplicación lineal (también es casualidad ¿no?), y que fue postulada en origen, siendo muy discutida durante casi 100 años, aunque hoy en día se tienen ya indicios más que suficientes para considerarla válida, y solo la cuestionan los locos y los visionarios, pero inicialmente fue una teoría muy discutida porque puso en cuestión nada más y nada menos que a la mecánica de Newton.

Salu2, Jabato.

[Weip]

Re: Espacio-tiempo de Minkowsky

Por un hecho importantísimo: las transformaciones de Lorentz dejan invariante esa métrica en concreto. Puede ser una explicación corta pero los invariantes en física y en geometría son como el oro. Piensa que Minkowski era matemático así que es era lógico que se preguntarse sobre el espacio donde estaba trabajando y qué métrica tenía definida (con métrica me refiero a la no degenerada). No sé si con esta explicación he dejado patente de la importancia de este hecho pero créeme, lo es.

Yo supongo que Minkowsky, a partir de las transformaciones de Lorentz, querría ver el módulo de la posición y buscar alguna especie de relación, cómo cuando se rota un sistema de referencia, los dos observadores miden distintas coordenadas pero la misma distancia del punto al origen de coordenadas. Pero preguntaba por si alguien sabía, o suponía algo más.

Yo no sé cómo fue su idea original pero probablemente querría clasificar las transformaciones de Lorentz o de Poincaré. Con clasificar me refiero a encontrar una matriz "reducida" para una transformación de Lorentz/Poincaré arbitraria. Vamos, decir si las transformaciones son traslaciones, rotaciones, una composición de ambas, simetrías... Bueno al menos es lo que se hace habitualmente y en aquella época la clasificación de las isometrías en espacios euclídeos era conocida y en el caso del espacio de Minkowski se hace de forma parecida (con las sutilezas de tener un espacio no euclídeo).

[visitante20160513]

Re: Espacio-tiempo de Minkowsky

Según dice Wilkipedia, Minkowski estaba trabajando e investigando precisamente con esos temas cuando dijo su famosa frase:

[FONT=sans-serif]Las ideas sobre el espacio y el tiempo que deseo mostrarles hoy descansan en el suelo firme de la física experimental, en la cual yace su fuerza. Son ideas radicales. Por lo tanto, el espacio y el tiempo por separado están destinados a desvanecerse entre las sombras y tan sólo una unión de ambos puede representar la realidad.

[/FONT][FONT=sans-serif]refiriéndose sin duda a la relatividad especial, que había sido publicada dos años antes.

Salu2, Jabato. [/FONT]

[alexpglez]

Re: Espacio-tiempo de Minkowsky

Respecto a lo que dices Weip, tengo varias dudas:
Si Minkowsky ya presuponía con qué jugaba dedujo, poniendo un poco de orden matricial a la transformación de lorentz:
Que la matriz de lorentz es una matriz de rotación, porque su determinante sea +/- 1??
Y visto que las transf. de lorentz eran rotaciones en 4D y como la contracción de dos vectores da un escalar, se puso a buscar cual tenía que ser el tensor métrico correcto?

Y otra duda que no había caído, que el tensor métrico permanezca invariante ante transformaciones de lorentz (se como se llega a la demostración) que quiere decir? Es decir, que diferenciq a las transformqcionws de lorentz de una transformqcion de cartesianas a esféricas (porque al fin y al cabo se describen por una matriz de transformación) y que implicaciones tiene.
Y sobre esta demostración, la he visto usando índices contravariantes y tensor metrico, si se intenta demostrar usando una contraccion covariante-contravariante creo que sale matriz de lorentz -1 * matriz de lorentz = I (lo estoy haciendo ahora de cabeza, perdón si me equivoco demasiado).

Saludos.

Pd2: gran cita de Minkowsky.
Pd: perdonad pero desde el móvil me resulta difícil escribir bien y con fórmulas, las adjunto mañaba si hace falta.

[Weip]

Re: Espacio-tiempo de Minkowsky

He buscado los artículos originales de Minkowski sobre relatividad y efectivamente la idea era que las transformaciones de Lorentz dejaban invariante la métrica de Minkowski. En palabras exactas de Minkowski (página 49):

"We consider the sheet in the region $t>0$ and we will now take those homogeneous linear transformations of $x,y,z,t$ in four new variables $x',y',z',t'$ so that the expression of this sheet in the new variables has the same form. Obviously, the rotations of space about the origin belong to these transformations".

Con sheet se refiere a una de las hojas del hiperboloide que define la métrica de Minkowski, en concreto la hoja $t>0$.

Que la matriz de lorentz es una matriz de rotación, porque su determinante sea +/- 1??

El determinante nos ayuda a saber si las transformaciones que tenemos son propias o impropias. Pero no es el único elemento que nos ayuda a clasificar las transformaciones.

Y sobre esta demostración, la he visto usando índices contravariantes y tensor metrico, si se intenta demostrar usando una contraccion covariante-contravariante creo que sale matriz de lorentz -1 * matriz de lorentz = I (lo estoy haciendo ahora de cabeza, perdón si me equivoco demasiado).

Con índices o sin índicies va a salir igual pero sí, la identidad es una transformación de Lorentz porque estas forman un grupo llamado grupo de Lorentz. Un grupo es un conjunto con una operación asociativa, con elemento neutro y elemento simétrico. Esta operación en el caso del grupo de Lorentz es la composición. Por lo tanto la identidad es el elemento neutro del grupo.

Y otra duda que no había caído, que el tensor métrico permanezca invariante ante transformaciones de lorentz (se como se llega a la demostración) que quiere decir? Es decir, que diferenciq a las transformqcionws de lorentz de una transformqcion de cartesianas a esféricas (porque al fin y al cabo se describen por una matriz de transformación) y que implicaciones tiene.

Pues que el grupo de isometrías del espacio de Minkowski son las transformaciones de Poincaré (que tienen como caso particular las de Lorentz) y eso nos permite saber por ejemplo los movimientos permitidos en el espaciotiempo sin necesidad de variar la distancia entre puntos cada dos por tres. Que se preserve esta métrica también nos permite construir los conos de luz, darle estructura causal al espacio, ver que las curvas temporales cerradas no están permitidas... Este hecho es el corazón de la geometría del espaciotiempo de Minkowski.

[alexpglez]

Re: Espacio-tiempo de Minkowsky

Lo que decía en mi anterior mensaje más o menos era:

$$x'^{\mu } = \Lambda ^{\mu }_{\nu} x^{\nu}$$

$$x'_{\mu } = (\Lambda^{-1}) _{\mu }^{\nu} x_{\nu}$$

Siendo inversas las matrices (ya que las matrices de transformacion covariantes y contravariantes son inversas).
Por este camino:

$$g_{\mu \nu}x'^{\mu}x'^{\nu}=g_{\mu \nu}\Lambda ^{\mu}_{\phi}x^{\phi}\Lambda^{\nu}_{\psi}x^{\psi}=g_{\phi \psi}x^{\phi}x^{\psi}$$

$$g_{\mu \nu}\Lambda ^{\mu}_{\phi}\Lambda^{\nu}_{\psi}=g_{\phi \psi}$$

$$\Lambda ^T g \Lambda=g$$

Por este otro:

$$g^{\mu \nu}x'_{\mu}x'_{\nu}=g^{\mu \nu}(\Lambda^{-1}) _{\mu}^{\phi}x_{\phi}(\Lambda^{-1})_{\nu}^{\psi}x_{\psi}=g^{\phi \psi}x_{\phi}x_{\psi}$$

$$g^{\mu \nu}(\Lambda^{-1}) _{\mu}^{\phi}(\Lambda^{-1})_{\nu}^{\psi}=g^{\phi \psi}$$

$$\Lambda^{-1}g^{-1} (\Lambda^{-1})^T=g^{-1}$$

Y:

$$x'_{\nu}x'^{\nu}=(\Lambda^{-1}) _{\nu}^{\phi}x_{\phi}\Lambda^{\nu}_{\psi}x^{\psi}=x_{\psi}x^{\psi}=\delta ^{\phi}_{\psi}x_{\phi}x^{\psi}$$

$$(\Lambda^{-1}) _{\nu}^{\phi}\Lambda^{\nu}_{\psi}=\delta ^{\phi}_{\psi}$$

$$\Lambda^{-1}\Lambda=I$$

Pero es lógico, la 2 es la 1 aplicado ^{-1} y la 3 es una definición de la inversa. Nada, cosas mías que quería probar...

Sobre las transformaciones y el grupo de poincaré me pillas, no sé lo que son, he leído en wikipedia pero no he entendido mucho, supongo que es una abstracción matemática interesante y potente desde un punto teórico pero no lo he visto usado en el Goldstein ni en los textos de mecánica relativista que he ido leyendo..
Un saludo

PD:le echaré un vistazo al artículo, gracias.

[Breogan]

Re: Espacio-tiempo de Minkowsky

Hola:

Conozco algo de lo básico de la TR, así que lo mio es solo jugar un poco con las formulas para ver si logro llegar a algún lado:

Escribimos primero las transformadas de Lorentz para el caso tipico de dos SR O y O', que se mueven con una velocidad v relativa entre ellos en el sentido de las x, y que en el instante t=t'=0 sus x=x'=0:

$\dst t' = \gamma \ \left(t - \frac v {c^2} x \right) \quad , \quad x' = \gamma \ (x - v t) \quad , \quad y' = y \quad , \quad z' = z$

las voy a reescribir:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Esto mismo lo podemos escribir de otra forma:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

donde $\dst \beta = \frac v c$

Y ahora lo escribimos en forma matricial:

$\dst \begin{pmatrix} ct' \\ x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & - \gamma \beta & 0 & 0 \\ - \gamma \beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

Llamando T a la matriz, $\dst \bold {x} = (ct,x,y,z) \quad y \quad \bold {x'} = (ct',x',y',z')$ podemos escribir:

$\dst \bold {x'} = T \ \bold{x}$

Vemos que T se parece a una matriz de rotación, para que lo fuera su determinante debe se igual a 1, calculamos su determinante:

$\dst |T| = \gamma^2 - \gamma^2 \beta^2 = \gamma^2 \left( 1 - \beta^2 \right) = 1$

Por lo cual es una matriz de rotación, no me acuerdo que otra condición debe cumplir para que en la rotación conserve la norma de los vectores, pero para seguir voy a suponer que las cumple, por lo tanto:

$\dst |T| = 1 \ \Rightarrow \ ||\bold{x}|| = ||\bold{x'}|| \quad \Rightarrow \quad ||\bold{x}||^2 = ||\bold{x'}||^2$

Como no conozco la norma en este espacio, ni su producto interno, voy a probar con la norma usualmente usada:

$\dst (c t)^2 + x^2 + y^2 + z^2 = (c t')^2 + x'^2 + y'^2 + z'^2$

Simplificando:

$\dst c^2 t^2 + x^2 = (c t')^2 + x'^2$

Ahora reemplazo las coordenadas x' y t' por las transformaciones correspondientes, y numero cada termino del 2º miembro:

$\dst \underbrace{c^2 t^2}_1 + \underbrace{x^2}_2 = \underbrace{[\gamma (c t - \beta x)]^2}_{1'} + \underbrace{[\gamma (x - \beta c t)]^2}_{2'}$

desarrollo los cuadrados:

$\dst \underbrace{c^2 t^2}_1 + \underbrace{x^2}_2 = \underbrace{\gamma^2 c^2 t^2 - 2 \gamma^2 c t \beta x + \gamma^2 \beta^2 x^2}_{1'} + \underbrace{\gamma^2 x^2 - 2 \gamma^2 x \beta c t + \gamma^2 \beta^2 c^2 t^2}_{2'}$

Agrupando:

$\dst \underbrace{c^2 t^2}_1 + \underbrace{x^2}_2 = \underbrace{\gamma^2 c^2 t^2}_{1'} + \underbrace{\gamma^2 \beta^2 c^2 t^2}_{2'} - \underbrace{2 \gamma^2 c t \beta x}_{1'} - \underbrace{2 \gamma^2 x \beta c t}_{2'} + \underbrace{\gamma^2 \beta^2 x^2}_{1'} + \underbrace{\gamma^2 x^2}_{2'}$

Se puede ver a simple vista que no se cumple la igualdad, pero si le cambo el signo a los términos marcados como 1 y 1' (o a los 2 y 2', es indistinto), posiblemente se verifique la igualdad. Pruebo:

$\dst -(c t)^2 + x^2 + y^2 + z^2 = -(c t')^2 + x'^2 + y'^2 + z'^2$

Sigo los mismos pasos anteriores para llegar a:

$\dst \underbrace{- c^2 t^2}_1 + \underbrace{x^2}_2 = \underbrace{- [\gamma (c t - \beta x)]^2}_{1'} + \underbrace{[\gamma (x - \beta c t)]^2}_{2'}$

$\dst \underbrace{- c^2 t^2}_1 + \underbrace{x^2}_2 = \underbrace{- \gamma^2 c^2 t^2}_{1'} + \underbrace{\gamma^2 \beta^2 c^2 t^2}_{2'} - \underbrace{(- 2 \gamma^2 c t \beta x)}_{1'} - \underbrace{2 \gamma^2 x \beta c t}_{2'} + \underbrace{- \gamma^2 \beta^2 x^2}_{1'} + \underbrace{\gamma^2 x^2}_{2'}$

$\dst - c^2 t^2 + x^2 = \underbrace{\gamma^2 (-1 + \beta^2)}_{= -1} c^2 t^2 + \underbrace{\gamma^2 (- \beta^2 + 1)}_{=1} x^2$

Por lo tanto la norma definida como:

$\dst ||( c t , x ,y , z)||=- c t^2 + x^2 + y^2 + z^2$

es invariante ante las transformaciones de Lorentz.

Esto no es una demostración, ni pretende serlo. No pasa de ser jugar con las formulas ya sabiendo de antemano donde quiero llegar. La duda de como Minkowsky lo hizo aun es una incógnita para mi.

Después de hacerlo me surgió la duda si no hay otra norma del cuadri-vector que sea invariante ante las transformaciones de Lorentz.

s.e.u.o.

Suerte

[guibix]

Re: Espacio-tiempo de Minkowsky

Buenas, voy a hacer mi apuesta, pues tampoco sé que es lo que pasó por la cabeza de Minkowski para hacer su descubrimiento. Por supuesto, todo es especulación mía y no voy a entrar en demostraciones, solo usaré algunos razonamientos puramente de contexto histórico.

Por aquel tiempo, la geometría no euclidiana no era de especial interés en la física por no tener aplicaciones muy directas. En cambio, en el mundo de las matemáticas la geometría no euclidiana había tenido su revolución en el siglo XIX con las grandes aportaciones de Gauss, Lobachevski, Bolyai y Riemann. Era un campo en auge y es muy probable que la mayoría de físicos no estuvieran muy familiarizados con la cúspide de dichos avances por ser muy abstractos y sin demasiada aplicación.

Es bien sabido en la historia de la física que muy a menudo solo interesan las matemáticas que tengan su utilidad en los problemas de física. Y de hecho, muchos campos matemáticos se han desarrollado a partir del momento que alguien les ha encontrado un uso en física.

Por contra, imagino que los matemáticos sí estaban interesados en el avance de la física del momento y sus matemáticas (pues su revolución era mucho más tangible para todo el mundo). Y su interés estaba en gran medida en las clasificaciones algebraicas de dichas matemáticas. Además, Minkowski era amigo de David Hilbert y estaba muy interesado en sus trabajos de espacios vectoriales de n dimensiones.

Supongo que no es de extrañar que fuera un matemático como Minkowski y no un físico el que viera que la forma matemática de la Relatividad era algún tipo de descripción geométrica.

Puedo estar completamente equivocado pero en resumen mi razonamiento (reconozco que muy simplista) es el siguiente:

Toma un físico de la época experto en las leyes de Maxwell y de Newton, enséñale el trabajo de Einstein y probablemente su mente se enfocará en sus consecuencias e implicaciones físicas.

Toma un matemático experto en geometría no euclidiana y espacios vectoriales, enséñale el mismo trabajo y probablemente su mente se enfocará en su estructura algebraica.

¿Quién tiene más probabilidades de dar con el espacio-tiempo?

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Espacio-tiempo de Minkowsky

La pregunta de como Minkowski llego a deducir la métrica, esta muy relacionada con la Pregunta de como Lorentz dedujo sus transfomaciones, y de como Einstein dedujo la relatividad especial.

Objetivamente tendríamos que contestar cuales fueron la cadena de sucesos y eventos que los llevaron a cada uno a dar su parte, de lo que nosotros hoy ya con el diario de mañana en nuestras manos ya conocemos. Los tres son contemporáneos y su trabajo influyo en el del otro ya sea por competencia o por intentar desacreditar la teoría el uno con el otro.

No voy a iluminar a nadie con lo que exponga, no se si así ha ocurrido históricamente pero me parece la sintesis que mas me cierra de lo que he estado leyendo.

La mecánica clásica de Newton y las transformaciones de Galilei se quedaron cortas a la hora explicar precisamente las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo que llevaban 40 años de comprobados experimentos.
Algunos intentos de Einstein y de un tal Walter Ritz trataron de modificar las ecuaciones de Maxwell, para que transformen bien con las las transformaciones de Galilei, pero los resultados de sus experimentos que predecían las ecuaciones fallaron.
El principio de relatividad y la suposición de c constante para todos los observadores, llevan como consecuencia de deducción netamente matemática (no fisica) que existe un factor $\gamma$ que relaciona las mediciones de los observadores y que se hacia recurrente, ya que aparecía en la contracción de longitudes del experimento de Michelson y Morley.
Las relaciones entre espacio y tiempo primero fueron usadas por Fitzgerald y Lorentz , este las utilizo para dejar invariantes las ecuaciones de Maxwell e intento como la mayoría de los físicos de la época usarlo a favor de la existencia del éter, pero Einstein fue quien prevaleció con su teoría, que esos momentos todavía no había sido probada experimentalmente.
Y solo un matemático como Minkowski pudo unir el rompecabezas, armando la matriz de transformación deduciendo la métrica.

Saludos

[Alriga]

Re: Espacio-tiempo de Minkowsky

Acabo de ver que Enrique Fernández Borja ha publicado hoy en su blog un interesante post (y un vídeo) en el que explica muy gráficamente como funciona la Métrica de Minkowski y como se aplica para resolver la "paradoja" de los gemelos.

Ojalá os guste, saludos.