1r ciclo Problema de Análisis Dimensional

[hennin]

Hola. Tengo el siguiente problema: "Encontrar usando análisis dimensional una expresión para el tiempo que tardaría en colapsar sobre su centro una esfera gaseosa de masa M y radio R si no existiese presión en su interior. Nótese que la expresión ha de depender también de la constante gravitatoria G. Usar la expresión deducida para calcular el tiempo en que colapsaría el Sol si desapareciese la presión interna."

Normalmente, en los problemas de análisis pues buscas que las magnitudes sean coherente. Es decir, en este caso:

[T]=G[R][M]

Pero G es L^3 M^-1 T^-2. Entonces [T] ya no dependería de la Masa (pues al multiplicar M^-1 por M se van). Entonces por aquí no puedo hacerlo o estaré haciendo algo mal.

Por otra parte, quisiera saber si es correcto lo siguiente:

F=ma=m R/(t^2) = GMm/(R^2) --> ¿t= raíz de R^3/GM ?


Muchas gracias de antemano

PD: no sé si he puesto el hilo en el tema adecuado

[polonio]

Re: Problema de Análisis Dimensional

Normalmente, en los problemas de análisis pues buscas que las magnitudes sean coherente. Es decir, en este caso:

[T]=G[R][M]

Pues yo no veo esto coherente... Si las dimensiones de $G$ son $[L]^3[M]^{-1}[T]^{-2}$, entonces:

$$\dst t=\sqrt{\frac{R^3}{M\,G}}$$

(lo he hecho muy rápido, pero esto sí es lo que te da a ti cuando lo haces a partir de la segunda ley de Newton).

[hennin]

Re: Problema de Análisis Dimensional

Bueno, me he dado cuenta que el valor de G es inversamente proporcional al tiempo que tarde en colapsar, por tanto: [T]= [M][R]/G. Entonces sí obtenemos la expresión de t. Alguien sabe si es correcta dicha fórmula¿?

[polonio]

Re: Problema de Análisis Dimensional

Hemos escrito casi a la vez, mira mi post anterior.

[hennin]

Re: Problema de Análisis Dimensional

Gracias

[pod]

Re: Problema de Análisis Dimensional

La forma usual de hacer estos problemas es tomar todas las magnitudes que puedan intervenir y elevarlas a un coeficiente arbitrario a aberiguar:

$$t = G^\alpha R^\beta M^\gamma .$$

Si analizamos las dimensiones de cada magnitud (no pongo los corchetes por comodidad),

$$T = (M^{-1} L^3 T^{-2})^\alpha L^\beta M^\gamma = M^{\gamma - \alpha} L^{3\alpha+\beta} T^{-2\alpha}.$$

Igualando los exponentes de cada dimension, tenemos tres ecuaciones para tres incógnitas,

$$\begin{aligned}<br /> \gamma - \alpha & = 0 \ , \\<br /> 3\alpha+\beta & = 0 \ , \\<br /> -2\alpha & = 1\ .<br /> \end{aligned}$$

De la tercera sale directamente $\alpha = -1/2$. En la primera, $\gamma = \alpha = -1/2$. Y en la segunda, $\beta = - 3 \alpha = 3/2$. Por lo tanto,

$$t \propto G^{-1/2} R^{3/2} M^{-1/2} = \sqrt{\frac{R^3}{GM}} .$$

Como ves, no hay que asumir nada, no tienes que suponer que tiene que depender de G de forma lineal. Simplemente, le pones un exponente arbitrario, y miras si puedes resolver el sistema.