Divulgación Unidades acción, lagranigano y densidad lagrangiana

[alexpglez]

La acción se define como:

$$S=\int L dt$$

Pero para campos se usa la densidad lagrangiana definida por:

$$L=\iiint \mathcal{L} dV \;\; (=\int \mathcal{L} d^3 x)$$

Por lo que la acción acaba siendo:

$$S=\int \mathcal{L} d^3 x dt$$

Pero también lo he visto como:

$$S=\int \mathcal{L} d^4 x$$

O con una letra griega en vez de un 4. El problema es que veo que es parcialmente incorrecto, ya que en la relatividad especial $dx^0=cdt$. Por lo que la diferencia estaría en la constante c.

$$\int \mathcal{L} d^3 x dt=\frac{1}{c}\int \mathcal{L} d^4 x$$

Por eso quería preguntar cuáles son las unidades de cada uno de los objetos.
Un saludo, gracias.

[Kirov]

Re: Unidades acción, lagranigano y densidad lagrangiana

La clave es que la ${\cal{L}}$ de la tercera ecuación y la ${\cal{L}}$ de la cuarta ecuación tienen unidades distintas. Hay libertad para definir la densidad lagrangiana de cualquiera de las dos formas y unos textos lo hacen de una manera y otros de la otra. En el primer caso tiene unidades de $\frac{J}{m^3}$ y en el segundo de $\frac{Js}{m^4}$.

[pod]

Re: Unidades acción, lagranigano y densidad lagrangiana

En relatividad a menudo se utilizan dimensiones donde $c = 1$, adimensional. En estas unidades, tiempo y espacio se miden en la misma unidad, y por lo tanto se tiene lo que has puesto.

No es algo tan raro como puede parecer, estamos acostumbrados a medir distancias cosmológicas con unidades de tiempo, lo que llamamos "años luz". Todo esto se puede hacer porque c es una constante universal, que no depende del observador.

[alexpglez]

Re: Unidades acción, lagranigano y densidad lagrangiana

Entiendo las unidades de c=1, son mucho más prácticas a la hora de manejar, pero creo que dejar las constantes c, h y G, etc. es mejor por otra parte, ya que se así las leyes físicas sirven para cualquier tipo de sistema de unidades siempre que expresemos las constantes en ese sistema, en cambio las leyes, omitiendo las constantes naturales ya que valen 1, sólo son válidas para esas unidades.. bueno tiquismiquismos míos..
Gracias.

[visitante20160513]

Re: Unidades acción, lagranigano y densidad lagrangiana

El lagrangiano $L$ tiene las dimensiones de una enería [$ML^2T^{-2}$]. Lógicamente la acción $S$ tiene las dimensiones de un momento angular [$ML^2T^{-1}$].
Las densidades lagrangianas depende de en que dominio se consideren. Ocurre algo parecido a lo que ocurre con las densidades de carga electrica o de masa, que pueden ser lineales, superficiales o cúbicas.

Salu2, Jabato.