Divulgación consulta sobre ejercicio de difraccion de una sola rendija.

[inakigarber]

Buanas noches; tengo una duda con el ejercicio arriba expuesto. Intento resolverlo mediante máximos y mínimos tal como expone el propio problema pero creo que me pierdo en alguna parte. Trato de hacerlo por sustitución. Sustituyo;

$$U=\frac{sen(\phi/2)}{2}$$

Por lo que obtengo ;

$$I=I_oU^2$$

,

$$\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d}u } =2I_oU$$

y por otra parte;

$$\frac{\mathrm{d}U }{\mathrm{d}\phi }=\frac{\phi cos(\phi/2)-2sen(\phi/2)}{\phi^2}$$

Sustituyendo en (2) me sale finalmente [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] dado que el valor de la derivada es cero el numerador tambien debe ser cero
por lo que

$$0=4I_osen(\phi/2)[(I_ocos(\phi/2)-(2sen(\phi/2))]$$

Para que ese valor de 0 una de las opciones es que $\phi =0$ que seria el maximo central. Las otras condiciones que son lo que pide realmente el problema no se si me cuadran.

$$0=[(I_ocos(\phi/2)-(2sen(\phi/2))]$$

con ello obtengo

$$I_ocos(\phi/2)=2sen(\phi/2)$$

Con lo cual, he debido perderme en alguna parte.

[rho]

Re: consulta sobre ejercicio de difraccion de una sola rendija.

Hola Iñaki

Resolviendo bien la derivada una de las condiciones que te saldrá al anularla es tg(f/2)=f/2. Ecuación trascendente que resuelta, por ejemplo, graficamente, te dará esos máximos.

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Buanas noches; tengo una duda con el ejercicio arriba expuesto. Intento resolverlo mediante máximos y mínimos tal como expone el propio problema pero creo que me pierdo en alguna parte. Trato de hacerlo por sustitución. Sustituyo;

$$U=\frac{sen(\phi/2)}{2}$$

Por lo que obtengo ;

$$I=I_oU^2$$

,

$$\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d}u } =2I_oU$$

y por otra parte;

$$\frac{\mathrm{d}U }{\mathrm{d}\phi }=\frac{\phi cos(\phi/2)-2sen(\phi/2)}{\phi^2}$$

Sustituyendo en (2) me sale finalmente [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] dado que el valor de la derivada es cero el numerador tambien debe ser cero
por lo que

$$0=4I_osen(\phi/2)[(I_ocos(\phi/2)-(2sen(\phi/2))]$$

Para que ese valor de 0 una de las opciones es que $\phi =0$ que seria el maximo central. Las otras condiciones que son lo que pide realmente el problema no se si me cuadran.

$$0=[(I_ocos(\phi/2)-(2sen(\phi/2))]$$

con ello obtengo

$$I_ocos(\phi/2)=2sen(\phi/2)$$

Con lo cual, he debido perderme en alguna parte.

[Cat_in_a_box]

Re: consulta sobre ejercicio de difraccion de una sola rendija.

Hola,

En efecto tienes que hacer lo que te han señalado. De todas formas me gustaría añadir algo con lo que has de tener cuidado a la hora de resolver numéricamente.
Veamos, la ecuación que haspuesto nos permite calcular las posiciones de los máximos de intensidad así como su intensidad. Pero claro está que no es tan simple como parece, pues cabría esperar que los máximos se presentaran donde la función (seno) alcanza el valor de $\pm 1$ de modo que tu ángulo $\phi$ sería:

$$\phi=\pm(2m+1)\pi ,\quad m=0,1,2\ldots$$

No obstante, esto no es del todo correcto ya que la expresión:

$$I=I_0\left[\dst\frac{\sin(\phi/2)}{\phi/2}\right]^2$$

Incluye el término del seno, pero al cuadrado, lo cual hace que la solución de los ángulos propuesta en (1) sea distinta. Así pues, como te han dicho, deriva la expresión (2) con respecto al ángulo e iguala a cero para intentar hallar los máximos y mínimos, te encontrarás con una ecuación trascendental sin solución analítica, así que o bien la resuelves gráficamente como te han propuesto, o mejor mediante métodos numéricos (podrías utilizar algún método tipo Newton-Raphson, lo implementas en el ordenador y a resolver, es bastante sencillo).

Lo curioso de la resolución de esta ecuación es que, como en un principio se podría pensar, para $\phi=\pm\pi$ ¡no hay ningún máximo! De hecho el primero está donde te indican en la solución: $\phi=\pm 2.680\pi$.

Aún así, cabe destacar que en la expresión (1), el error que introduce el término del seno al cuadrado, va ''desapareciendo'' según nos alejamos del centro, o sea, para m grandes. Como una primera aproximación (en cierto sentido un poco burda) para el cálculo de los máximo laterales puedes sustituir (2) en (1) y obtener la expresión aproximada:

$$I_m\approx \dst\frac{I_0}{\left(m+\dst\frac{1}{2}\right)^2\pi^2}$$

En algo te ayuda al menos, ya que, por ejemplo para el primer término de la serie se obtiene un valor de 0.0450$I_0$ (el real es $0.0472I_0$) pero para el tercer término coinciden.

Espero que esto te ayude, pero el cálculo para hallar la solución es ese, derivar y resolver la ecuación trascendental numéricamente. Si tienes algún problema a la hora de hacerlo, pregunta.

Saludos,

[inakigarber]

Re: consulta sobre ejercicio de difraccion de una sola rendija.

Gracias a ambos por vuestra atención.

Hola Iñaki

Resolviendo bien la derivada una de las condiciones que te saldrá al anularla es tg(f/2)=f/2. Ecuación trascendente que resuelta, por ejemplo, graficamente, te dará esos máximos.

Pues hay algo que debo estar haciendo mal y no se que es;

$$I=I_o\frac{sen^2(\phi/2)}{(\phi/2)^2}$$

multiplicando por 4 numerador y divisor

$$I=4I_o\frac{sen^2(\phi/2)}{\phi^2}$$

La derivada me sale;

$$\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}\phi}=4I_o\frac{[(\phi)sen(\phi/2)Cos(\phi/2)]-2Sen^2(\phi/2)}{(\phi^3)}$$

Dado que hablamos de valores maximos y la derivada de un máximo vale 0. El numerador tendra que valer 0 tambien. Luego;

$$0=4I_o[\phi(sen(\phi/2)cos(\phi/2)]-2sen^2(\phi/2)$$

$$0=[\phi(sen(\phi/2)cos(\phi/2)]-2sen^2(\phi/2)$$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Besugo de mi. Es lo mismo que tu me decias;

$$\phi/2=\frac{sen(\phi/2)}{cos(\phi/2)}=tg(\phi/2)$$

me he pasado tres horas dándole vueltas como un imbecil.
Saludos.

[juantv]

Re: consulta sobre ejercicio de difraccion de una sola rendija.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\dst \phi = 2 \frac{sen(\frac{\phi}{2})}{\cos (\frac{\phi}{2})}$

$\dst \tan (\frac{\phi}{2}) = \frac{\phi}{2}$

[inakigarber]

Re: consulta sobre ejercicio de difraccion de una sola rendija.

Gracias Juantv no habia visto tu post hasta terminar de editar el mio. Al menos me reire un rato de mi torpeza. Saludos.