Dedución de la ley de Snell

[francisco hidalgo]

HOLA AUDIOTORIO
ES LA PRIMERA VE QUE ME ENLAZO CON USTEDES Y POR QUE TENGO UNA DUDA SOY ESTUDIANTE DE LA CARRERA DE INGENIERIA EN ELECTRONICA Y COMPUTACION Y MI PROFESOR DE FISICA ME DE JO DE TAREA LA DEDUCCION DE LAS LEYES DE SNELL A PARTIR DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL Y QUISIERA VER SI ALGUIEN DE USTEDES ME PUEDE AYUDAR A DEDUCIRLAS GRACIAS
ATTE: FRANCISCO HIDALGO

[pod]

En realidad, las ecuaciones de Maxwell entran poco en juego en esta demostración. En primer lugar, las ecuaciones de Maxwell implican que el campo eléctrico (así como el magnético) es continuo a través de cualquier superficie donde no haya ni carga ni corrientes superficiales.

Además, las ecuaciones de Maxwell implican la ecuación de ondas, lo que nos permite escribir el campo eléctrico como

$\vec{E} = \vec{A} e^{ i ( \omega t - \vec{k} \cdot \vec{r} )} .$

donde $\omega = 2\pi/T = 2 \pi c / \lambda = p c$, T es el periodo de la onda, $p = \omega / c$. El módulo del color de ondas se puede igualmente escribir $|\vec{k}| = 2\pi / \lambda = 2\pi / (v T) = n p$ (recordad que v = c/n, por definición de índice de refracción). Llamemos $\vec{s}$ al vector unitario en la dirección de propagación, por tanto $\vec{k} = n p \vec{s}$. Por tanto,

$\vec{E} = \vec{A} e^{ i p ( t c - n \vec{r} \cdot \vec{s} )} .$

Bien, supongamos una onda que incide sobre una superfice segun el diagrama:



La superfície de contacto entre ambos dieléctricos corresponde con $z=0$. Si en dicha superfície de contacto no existe ninguna carga ni corriente superficial, el campo eléctrico será continuo, es decir, tendrá el mismo valor en dos puntos a cada lado de la superfície de separación que estén infinitamente proximos. En el medio original (1), el campo tiene dos contribuciones, la onda incidente y la reflejada. En el medio (2) el campo estará formado tan solo por la onda refractada,

$\vec{E}_1 + \vec{E}_3 = \vec{E}_2\ ,$

siempre para $z=0$. Analizemos la componente "y" de esta ecuación (el eje "y" es perpendicular a la figura). Llamamos a los vectores de propagación $\vec{s}_i = (\alpha_i, \beta_i, \gamma_i)$, y hemos orientado los ejes de forma que $\beta_1=0$(es decir, el rayo incidente está en el plano de la figura) tenemos

$A_{y,1} e^{i p_1 ( c t - n_1 \alpha_1 x )} <br /> + A_{y,3} e^{i p_2 ( c t - n_1 \alpha_3 x - n_1 \beta_3 y )} <br /> = A_{y,2} e^{i p_3 ( c t - n_2 \alpha_2 x - n_2 \beta_2 y )}$

Recordemos que el índice de refracción para la onda reflejada es el mismo que para la onda incidente, $n_3 = n_1$.

Esta ecuación debe cumplirse para cualquier valor de "t", "x" e "y". Para $x = y = 0$, tenemos

$A_{y,1} e^{i p_1 c t } <br /> + A_{y,3} e^{i p_2 c t } <br /> = A_{y,2} e^{i p_3 c t }$

La única forma de que esta ecuación se cumpla para todo "t" es que $p_1 = p_2 = p_3$ (esto proviene del hecho que dos exponenciales oscilantes con diferente frecuéncias son funciones ortogonales). Eso, básicamente, implica que la frecuéncia de las tres ondas es la misma. En adelante, suprimiremos los índices en "p"

Para $t = x = 0$ tenemos,

$A_{y,1} <br /> + A_{y,3} e^{- i p n_1 \beta_3 y} <br /> = A_{y,2} e^{- i p n_2 \beta_2 y}$

Por el mismo motivo, esta igualdad tan sólo se verificará si $\beta_2 = \beta_3 = 0$, lo cual implica que los rayos reflejado y refractado están en el mismo plano que el incidente. Usando trigonometria de la simple podemos escribir:

$\vec{s}_i = (\alpha_i, 0, \gamma_i) = (\sin\theta_i, 0, \cos\theta_i) ,$

Por último, para $t = y = 0$ tenemos

$A_{y,1} e^{-i p n_1 \alpha_1 x} <br /> + A_{y,3} e^{-i p n_1 \alpha_3 x } <br /> = A_{y,2} e^{-i p n_2 \alpha_2 x }$

De nuevo con los mismos argumentos de ortogonalidad, debe cumplirse

$n_1 \alpha_1 = n_1 \alpha_3 = n_2 \alpha_2 \ .$

O, utilizando el resultado anterior,

$n_1 \sin\theta_1 = n_1 \sin\theta_3 = n_2 \sin\theta_2 \ .$

La primera igualdad implica la ley de la reflexión: $\theta_1 = \theta_3$. La segunda igualdad es la ley de Snell:

$n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2 \ .$

Esto completa la demostración. Nótese que la misma demostración pueden realizarse con el campo magnético.

[Entro]

Lo notamos, lo notamos.

Gran exposición por otra parte, plas plas plas

[dpeinado]

bueno, a ver si me acuerdo un poco. Supongo que lo que tu profesor quiere es que utilizando un método de perturbaciones obtengas a partir de las ecs, de maxwell la (creo que)denominada eikonal. Se trata de hacer un análisis de órdenes de magnitud y mediante un balance dominante quedarte sólo con algunos términos de las ecs de maxwell. A partir del eikonal se obtienen las leyes de snell y las de la óptica geométrica.

Perdon por anticipado si he dicho alguna burrada.